布朗运动

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模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子,而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動
粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。

布朗运动(Brownian motion)过程是一种正态分布独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为:布朗运动W(t)是期望为0、方差为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s,W(t)-W(s)独立于的W(r),且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程鞅过程伊藤过程

它是在西元1827年[1]英國植物學罗伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時,發現微粒會呈現不規則狀的運動,因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小,因為就是有中的水分子對微粒的碰撞產生的,而不規則的碰撞越明顯,就是原子越大,因此根據布朗運動,定義原子的直徑為10-8厘米。

定義[编辑]

自1860年以來,許多科學家都在研究此種現象,後來發現布朗運動有下列的主要特性:[2]

  1. 粒子的運動由平移及及轉移所構成,顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
  2. 粒子之移動顯然互不相關,甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
  3. 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時,粒子的運動越活潑。
  4. 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
  5. 粒子的運動永不停止。

對於布朗運動之誤解[编辑]

值得注意的是,布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动,而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。

一般而言,花粉之直徑分布於30~50μm、最小亦有10μm之譜,相較之下,水分子直徑約0.3nm(非球形,故依部位而有些許差異。),略為花粉的十萬分之一。因此,花粉難以產生不規則振動,事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在罗伯特·布朗的手稿中,「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」,而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時,時常受到誤解,以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下,在大眾一般觀念中,此誤會已然根深蒂固。

花粉具備足夠大小,幾乎無法觀測到布朗運動。

日本,以鶴田憲次『物理学叢話』為濫觴,岩波書店『岩波理科辞典』[3]花輪重雄『物理学読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌二『物理学原論(上)』、平凡社『理科辞典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』,甚至日本的理科課本等等,皆呈現錯誤之敘述。

直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中,點出此誤謬之前,鮮少有人注意。国立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』(1970年)時,實際攝影漂浮在水中之花粉,卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月,以「外行人與專家之間」為題,解說有關布朗運動之誤會。

愛因斯坦的理論[编辑]

愛因斯坦的理論有兩個部分:第一部分定義布朗粒子擴散方程,其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關,而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式,愛因斯坦可決定原子的大小,一莫耳有多少原子,或氣體的克分子量。根據亞佛加德定律,所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升,其中包含的原子的數目被稱為“亞佛加德數"。由氣體的摩爾質量除以亞佛加德數等同原子量。 愛因斯坦論點的第一部分是確定布朗粒子在給定的時間內傳播距離。古典力學無法確定這個距離,因為一個布朗粒子受到每秒大約10 21劇烈碰撞。因此愛因斯坦考慮布朗粒子的集體運動。他表明,如果ρ(x,t)是布朗粒子的密度,在位子x與時間t,則ρ滿足擴散方程:

\frac{\partial\rho}{\partial t}=D\frac{\partial^2\rho}{\partial x^2},

其中D質量擴散係數。

假設在初始時刻t = 0時,所有的粒子從原點開始運動,擴散方程的解

\rho(x,t)=\frac{\rho_0}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}.

数学模型[编辑]

定义[编辑]

满足下列条件的我们称之为布朗运动

  1. 这个鞅是关于时间连续的。
  2. 他的平方减去时间项也是一个鞅。

(M_t)是一个布朗运动当且仅当(M_t)为鞅,且(M_t^2-t)也为鞅.

其他定义[编辑]

3000步的2维布朗运动的模拟。
1000步的3维布朗运动模拟。

一维的定义

一维布朗运动\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}是关于时间t的一个随机过程,他满足 :

  1. (独立增量)设时间ts满足t > s,增量\scriptstyle B_t-B_s独立于时间s前的过程\scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}
  2. (稳定增量和正态性)设时间ts满足t > s,增量\scriptstyle B_t-B_s服从均值为0方差为ts的正态分布。
  3. \scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}几乎处处可微, 也就是说在任何可能性下, 函数\scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)是连续的.
  4. 通常假设\scriptstyle B_0=0。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}是关于时间t的一个随机过程,他满足 :

  1. \scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}是一个高斯过程,也就是说对于所有的时间列:\scriptstyle t_1\leq t_2\leq ...\leq t_n ,随机向量:\scriptstyle (B_{t_1},B_{t_2},...,B_{t_n})服从高维高斯分布(正态分布)。
  2. \scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}几乎处处连续。
  3. 对于所有st,均值\scriptstyle \mathbb E[B_t]=0,协方差\scriptstyle E[B_s B_t]=min (s,t).

高维定义

\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}:=\left(B^1_t,B^2_t,...,B^d_t\right)_{t \ge 0}d维布朗运动,只需满足\scriptstyle B^1,B^2,...,B^d为独立的布朗运动。

换句话说,d维布朗运动 取值于\scriptstyle \mathbb R^d,而它在\scriptstyle \mathbb R,\mathbb R^2,...,\mathbb R^{d-1}空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

\scriptstyle \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)为从\scriptstyle \mathbb R^+\scriptstyle \mathbb R的连续函数空间,\scriptstyle (\Omega,\mathcal T, \mathbb P)为概率空间。布朗运动为映射

B: \Omega \longrightarrow   C(\mathbb R^+,\mathbb R)
           \omega \mapsto \left( t\mapsto B_t(\omega) \right) .

Wiener测度 (或称为布朗运动的分布)设为\scriptstyle W(d\omega),是映射B关于\scriptstyle \mathbb P(d\omega)的图测度。

换句话说, W\scriptstyle \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)上的一个概率测度,满足对于任何\scriptstyle A\subset  \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R) ,有

W(A)=\mathbb P((B_t)_{t\geq0}\in A)

备忘

  • 布朗运动是一种增量服从正态分布的Lévy过程
  • 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性,比如几乎处处连续,轨迹几乎处处不可微等等。
  • 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来, 即: 轨迹连续且二次变差为t的随机过程为布朗运动。

性质[编辑]

  • 布朗运动的轨道几乎处处不可微:对于任何\scriptstyle \omega\in \Omega,轨道\scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)为一个连续但是零可微的函数。
  • 协方差\scriptstyle \mathbb E[B_s B_t]=min (s,t)
  • 布朗运动具有强马氏性: 对于停时T,取条件\scriptstyle [T < \infty ],过程\scriptstyle (B^T_t)_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_T)_{t\geq 0}为一个独立于\scriptstyle (B_{s})_{0 \leq s<T}的布朗运动。
  • 它的Fourier变换特征函数\scriptstyle \mathbb E\left[ e^{i u B_t} \right] = e^{-\frac{tu^2}{2}} 。可见,布朗运动是一个无偏,无跳跃,二项系数为1/2的Levy过程。
  • 布朗运动关于时间是齐次的: 对于s > 0, \scriptstyle (B_{t+s}-B_s)_{t\geq 0}是一个独立于\scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}的布朗运动。
  • -B是一个布朗运动。
  • (稳定性) 对于c > 0, \scriptstyle \left(cB_{\frac{t}{c^2}}\right)_{t\geq 0}是布朗运动。
  • (时间可逆性)\scriptstyle \left(tB_{\frac{1}{t}}\right)_{t > 0}t=0之外是布朗运动。
  • 常返性)只有1维和2维布朗运动是常返的:
      如果\scriptstyle d\in \{1,2\},集合\scriptstyle\{t\geq 0, B_t=x\}不是有界的,对于任何\scriptstyle  x\in \mathbb R^d
      如果\scriptstyle d\geq 3, \,\,\,\lim_{t\rightarrow \infty} ||B_t||=+\infty(几乎处处)。
  • (反射原理)
 \mathbb P[\sup_{0\leq s\leq t}B_s \geq a]=2  \mathbb P[B_t \geq a] = \mathbb P[|B_t| \geq a].

布朗运动的数学构造[编辑]

利用Kolmogorov一致性定理[编辑]

(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}L^2({\mathbb{R}}_+)空间中一列实值函数。设:

\forall(u,v)\in{\mathbb{R}}_+\text{, }s(u,v)={\langle f_u,f_v \rangle}_{L^2({\mathbb{R}}_+)}=\int_{\mathbb{R}_+} f_u(x)f_v(x)dx

这列函数满足:

\forall k\in\mathbb{N}^*,任意的t_1, ..., t_k\in\mathbb{R}_+,矩阵\left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理,我们可以构造高斯过程\{Y_t\}_{t\in\mathbb{R}_+},它的均值m任意, 协方差为上面定义的s

(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}=\left(\sqrt{c}.1\!\!1_{[0,t]} \right)_{t\in\mathbb{R}_+}c>0为不依赖于t的常数,1\!\!1_{[0,t]}[0,t]上的示性函数。则:

s(u,v)=c\int\limits_{\mathbb{R}}1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds=\text{c.min}(u,v)

在这个情况下,矩阵\left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0,协方差为s。c = Var(B_1),当c = 1时, 称之为 标准的布朗运动.

利用随机过程[编辑]

Donsker定理(1951)证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

 \left( \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \left(\sum_{k=1}^{[nt]} U_k +(nt - [nt])U_{[nt]+1}  \right) \right)_{0\leq t\leq 1} \underset{n\rightarrow \infty}{\Longrightarrow} (B_t)_{0\leq t\leq 1}

其中(Un, n ≥ 1) 独立同分布, 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

利用傅立叶级数[编辑]

设2列独立的正态\scriptstyle \mathcal N(0,1)随机变量序列\scriptstyle (N_k,k\in \mathbb N)\scriptstyle (N'_k,k\in \mathbb N)。定义\scriptstyle (B_t)_{t\geq0}

 B_t := t N_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2\pi k} \left(N_k \cos(2\pi kt -1)+N_k'\sin(2\pi kt)\right)

为布朗运动。

参见[编辑]

腳註[编辑]

  1. ^ 部分紀錄為1828年。
  2. ^ 李育嘉. 漫談布朗運動. 
  3. ^ 該辭典已於1987年所發行之第四版中修正。

外部鏈結[编辑]