萊維過程

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莱维过程(Lévy process)源于法国数学家保羅·皮埃爾·萊維,是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左极限右连续(Càdlàg)的随机过程。著名的例子有Wiener过程泊松过程

定义[编辑]

一个随机过程X=\{X_t:t \geq 0\}是一个莱维过程如果符合以下条件:

  1. X_0=0 \, 几乎确定
  2. 独立增量:对任何0 \leq t_1 < t_2<\cdots <t_n <\infty, X_{t_2}-X_{t_1}, X_{t_3}-X_{t_2},\dots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}相互独立
  3. 稳定增量:对任何s<t \,, X_t-X_s \,X_{t-s} \,有相同分布
  4. t \mapsto X_t is 几乎确定右连左极.

性质[编辑]

独立增量[编辑]

Xt是一个连续时间上的随机过程。也就是说,对于任何固定的t ≥ 0,Xt是一个随机变量。过程的增量为差值XsXt(任意的时间t < s)。 独立增量意味着对于任何时间s > t > u > vXsXtXuXv相独立。

稳定增量[编辑]

如果增量XsXt的分布只依赖于时间间隔s − t,则称增量是稳定的。

例如,对于维纳过程,增量Xs − Xt服从均值为0,方差为s − t正态分布

对于泊松过程,增量Xs − Xt服从指数为s − t泊松分布

可分性[编辑]

Lévy过程与无限可分分布有关:

  • 增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的nXt的分布可以表示为n个与Xt/n同分布的随机变量的和的分布。
  • 反之,对于每个无穷可分的分布,可以构造出一个与之对应的Lévy过程。

[编辑]

当Lévy过程的n阶矩\mu_n(t) = E(X_t^n)存在有限时, 它满足二项式等式:

\mu_n(t+s)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} \mu_k(t) \mu_{n-k}(s).

例子[编辑]

Wiener过程[编辑]

定义
X维纳过程(或者标准布朗运动) 当且仅当

  1. 对任何\scriptstyle t\geq 0 , 随机变量X_t服从正态分布\scriptstyle \mathcal N(0,t),
  2. 它的轨迹是几乎处处连续的;即, 对于几乎所有的事件\scriptstyle \omega,关于t的函数\scriptstyle \omega \mapsto X_t(\omega)是连续的。

性质

\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( - \frac{1}{2}t\theta^2 \right)

其他性质可参考词条布朗运动

复合Poisson过程[编辑]

定义
X为一个实参数为\scriptstyle c\geq 0,测度为\scriptstyle \nu 复合泊松过程当且仅当它的傅立叶变换为:

\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( ct \left(\int_{\mathbb R} e^{i\theta x}\nu(dx) -1\right)\right) .

性质

  • 参数为 \scriptstyle c\geq 0,测度为Dirac测度\scriptstyle \nu=\delta_1的复合泊松过程为泊松过程.
  • N为参数为\scriptstyle c\geq 0的泊松过程,\scriptstyle S_n=\sum_{k=0}^n Y_k为一个随机游走\scriptstyle Y_1的分布为\scriptstyle \nu),那么\scriptstyle X_t=S_{N_t}为一个复合泊松过程。

参考来源[编辑]

翻译自英语、法语版维基词条。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999