右连左极函数

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数学中,右连左极函数(càdlàg,RCLL)是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要,这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间(Skorokhod space)。

定义[编辑]

累积分布函数是右连左极函数的一个例子。

(M, d)度量空间,并令E \subseteq \mathbb{R}。函数f : E \to M称为右连左极函数。若对于每一t \in E,都有

f 是右连续的且有左极限。

例子[编辑]

  • 全部连续函数都是右连左极函数。
  • 累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。

斯科罗霍德空间[编辑]

EM的所有右连左极函数的集合常记为D(E; M)或简记为D,称为斯科罗霍德空间,是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德(Anatoliy Skorokhod)的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓扑,这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”(而传统的一致收斂拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”)。为了简化说明,取E = [0, T]M = \mathbb{R}^{n}(Billingsley的书中描述了更一般的拓扑)

首先我们必须定义连续性模的一个模拟\varpi'_{f} (\delta)。对於任意F \subseteq E,使

w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |

且对於\delta > 0,将右连左极函数模(càdlàg modulus)定义为

\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),

其中最大下界对所有划分\Pi = \{ 0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = T \}k \in \mathbb{N}都存在,且\max_{i} (t_{i} - t_{i - 1}) < \delta。这一定义对於非右连左极函数f是有意义的(就如通常的连续性模对於不连续函数是有意义的)且可以说明f是右连左极函数当且仅当\delta \to 0\varpi'_{f} (\delta) \to 0

这是令\Lambda表示从E到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合(这些函数是“对时间的蠕动”)。令

\| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |

表示E上的函数的一致范数。将D 上的斯科罗霍德度量(Skorokhod metric)\sigma定义为

\sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},

其中I : E \to E是恆等函數。以“蠕动”这种直观感觉来看,\| \lambda - I \|度量了“时间的蠕动”,而\| f - g \circ \lambda \|度量了“空间的蠕动”。

我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由\sigma生成的拓扑\Sigma称为D上的斯科罗霍德拓扑(Skorokhod topology)。

斯科罗霍德空间的性质[编辑]

一致拓扑的一般化[编辑]

E 上的连续函数空间CD 的一个子空间。相对应於C 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。

完备性[编辑]

虽然D 不是关於斯科罗霍德度量σ 的一个完备空间,但是可以证明存在具完备性的关於D拓扑等价度量 σ0

分离性[编辑]

关於σσ0D可分空间,因此斯科罗霍德空间是Polish空间

斯科罗霍德空间中的胎紧性[编辑]

通过应用阿尔泽拉-阿斯科利定理,我们可以证明斯科罗霍德空间D概率测度的一个序列(\mu_{n})_{n = 1}^{\infty}胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件:

\lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \| f \| \geq a \} = 0,

\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} = 0\text{ for all }\varepsilon > 0.

代数结构与拓扑结构[编辑]

在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下,D 不是一个拓扑群。

参考文献[编辑]

  • Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2. 
  • Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.