泊松过程

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Poisson过程Poisson process,大陆译泊松过程普阿松过程等,台译卜瓦松過程布瓦松過程布阿松過程波以松過程卜氏過程等),是以法國數學家泊松(1781 - 1840)的名字命名的。泊松過程隨機過程的一種,是以事件的發生時間來定義的。我們說一個 隨機過程 N(t) 是一個時間齊次一維泊松過程,如果它滿足以下條件:

  • 在區間[t,t+ \tau]內發生的事件的數目的機率分佈為:

 P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots

其中λ是一個正數,是固定的參數,通常稱為抵達率(arrival rate)或強度(intensity)。所以,如果給定在時間區間[t,t+ \tau]之中事件發生的數目,則隨機變數N(t + \tau) - N(t)呈現泊松分布,其參數為\lambda\tau

更一般地來說,一個泊松過程是在每個有界的時間區間或在某個空間(例如:一個歐幾里得平面三維歐幾里得空間)中的每一個有界的區域,賦予一個隨機的事件數,使得

  • 在一個時間區間或空間區域內的事件數,和另一個互斥(不重疊)的時間區間或空間區域內的事件數,這兩個隨機變數是獨立的。
  • 在每一個時間區間或空間區域內的事件數是一個隨機變數,遵循泊松分布。(技術上而言,更精確地來說,每一個具有有限測度集合,都被賦予一個泊松分布的隨機變數。)

泊松過程Lévy過程(Lévy process)中最有名的過程之一。時間齊次的泊松過程也是時間齊次的連續時間Markov過程的例子。一個時間齊次、一維的泊松過程是一個純出生過程,是一個出生-死亡過程的最簡單例子。

性质[编辑]

考虑一个泊松过程,我们将第一个时间到达的时间记为T1。此外,对于n>1,以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列

  • Tn(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量,具有均值1/λ。

参见[编辑]

泊松分布

马尔科夫链