半鞅

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

半鞅(Semimartingale)是概率论的概念。若一随机过程为一局部鞅和一适应的有界变差过程之和,则称该随机过程为一半鞅。半鞅的概念包含了众多常用的随机过程,扩充了伊藤积分的定义范围,从这个意义上说,半鞅是和局部鞅的扩展。

定义[编辑]

一个定义在带域流的概率空间(Ω,F,(Ft)t ≥ 0,P)的实值随机过程 X 被称为半鞅,若 X 有如下分解:

X_t = M_t + A_t

其中 M 为一局部鞅,而A 是一个右连左极的适应的有界变差过程。

性质[编辑]

  • 多个半鞅的线性组合仍然是半鞅。
  • 多个半鞅的积仍然是半鞅。
  • 任意半鞅的二次变差都存在。
  • X为一半鞅, f为二次连续可微函数,则 f(X)也是半鞅。

例子[编辑]

  • 凡是右连左极鞅都是半鞅,更一般地,上鞅和下鞅也都是半鞅。
  • 布朗运动是连续鞅,因此也是半鞅。
  • 适应并连续可微过程是有界变差过程,因此也是半鞅。
  • 萊維過程并不一定都是鞅,但一定都是半鞅。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Revuz, Daniel; Yor, Marc, Continuous Martingales and Brownian Motion. 3rd, Springer. 2004, ISBN 978-3540643258