伊藤引理

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随机分析中,伊藤引理(Ito's lemma)是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清,他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本[编辑]

第一引理[编辑]

对于布朗运动和二次可导函数,以下等式成立:

其主要可通过对多项式环形式幂级数的拓展,例如:

第二引理[编辑]

对于布朗运动和二次可导函数,以下等式成立

第三引理[编辑]

定义伊藤过程为满足下列随机微分方程的随机过程

对于伊藤过程和二次可导函数,以下等式成立

半鞅的拓展[编辑]

连续半鞅[编辑]

不连续半鞅[编辑]

泊松过程[编辑]

我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度h,根据跳跃的泊松过程模型,在区间上出现一次跳跃的概率是 加上的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数,或者是随机过程。在区间上没有跳跃的概率称为生存概率,其变化是:

因此生存概率为:

定义非连续随机过程,并把记为从左侧到达tS的值,记是一次跳跃导致的非无穷小变化。有:

是跳跃幅度z概率分布,跳跃幅度的期望值是:

定义补偿过程和

因此跳跃的非无穷小变化,也就是随机过程的跳跃部分可以写为:

因此如果随机过程同时包含漂移、扩散、跳跃三部分,可以写为:

考虑其函数跳跃的幅度,会导致跳跃幅度。取决于g的跳跃分布,有可能依赖于跳跃前的函数值,函数微分dg以及跳跃前的自变量值的跳跃部分是:

函数的伊藤引理是:

可以看到,漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理,恰恰是各自部分伊藤引理的和。

应用例子[编辑]

布莱克-舒尔兹模型[编辑]

伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动,且其期权的价格是股票价格和时间的函数。根据伊藤引理,有

整理可得

式中项表明期权价格的波动等于持有单位股票时的波动。在这个对应下,现金的部分应该以无风险利率增长,即

比较两式项的系数,可得

參考資料[编辑]

  • Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
  • PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
  • Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy