爱因斯坦求和约定

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數學裏,特別是將線性代數套用到物理時,愛因斯坦求和約定Einstein summation convention)是一種標記的約定,又稱為愛因斯坦標記法Einstein notation),在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的[1]。後來,愛因斯坦與友人半開玩笑地說[2]:「這是數學史上的一大發現,若不信的話,可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」

按照愛因斯坦求和約定,當一個單獨項目內有標號變數出現兩次,一次是上標,一次是下標時,則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言,標號的標值為1、2、3(代表維度為三的歐幾里得空間),或0、1、2、3(代表維度為四的時空閔可夫斯基時空)。但是,標值可以有任意值域,甚至(在某些應用案例裏)無限集合。這樣,在三維空間裏,

的意思是

請特別注意,上標並不是指數,而是標記不同坐標。例如,在直角坐標系裏,分別表示坐標、坐標、坐標,而不是一次方、二次方、三次方。

簡介[编辑]

愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量向量可以形成純量

通常會將這寫為求和公式形式:

基底變換之下,純量保持不變。當基底改變時,一個向量的線性變換可以用矩陣來描述,而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證,不論基底為何,伴隨餘向量的線性函數(即上述總和)保持不變。由於只有總和不變,而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變,所以,愛因斯坦提出了這標記法,重複標號表示總和,不需要用到求和符號

採用愛因斯坦標記法,餘向量都是以下標來標記,而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起,大多數涉及的方程式都是線性,不超過變數的一次方。在方程式裏,單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次,假若多於兩次,或出現任何其它例外,則都必須特別加以說明,才不會造成含意混淆不清。

向量的表示[编辑]

線性代數裏,採用愛因斯坦標記法,可以很容易的分辨向量和餘向量(又稱為1-形式)。向量的分量是用上標來標明,例如,。給予一個維向量空間和其任意基底(可能不是標準正交基),那麼,向量表示為

餘向量的分量是用下標來標明,例如,。給予對偶空間和其任意基底(可能不是標準正交基),那麼,餘向量表示為

採用向量的共變和反變術語,上標表示反變向量(向量)。對於基底的改變,從改變為,反變向量會變換為

其中,是改變基底後的向量的分量,是改變基底後的坐標,是原先的坐標,

下標表示共變向量(餘向量)。對於基底的改變,從改變為,共變向量會會變換為

一般運算[编辑]

矩陣的第橫排,第 豎排的元素,以前標記為;現在改標記為。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下:

內積[编辑]

給予向量和餘向量,其向量和餘向量的內積為純量:

向量乘以矩陣[编辑]

給予矩陣和向量,它們的乘積是向量

類似地,矩陣轉置矩陣,其與餘向量的乘積是餘向量

矩陣乘法[编辑]

矩陣乘法表示為

這公式等價於較冗長的普通標記法:

[编辑]

給予一個方塊矩陣,總和所有上標與下標相同的元素,可以得到這矩陣的

外積[编辑]

M維向量和N維餘向量外積是一個M×N矩陣

採用愛因斯坦標記式,上述方程式可以表示為

由於代表兩個不同的標號,在這案例,值域分別為M和N,外積不會除去這兩個標號,而使這兩個標號變成了新矩陣的標號。

向量的內積[编辑]

一般力學工程學會用互相標準正交基基底向量來描述三維空間的向量。

直角坐標系的基底向量寫成,所以一個向量可以寫成:

根據愛因斯坦求和约定,若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標,則此項代表著所有可能值之總和:

由於基底是標準正交基,的每一個分量,所以,

兩個向量内积

由於基底是標準正交基,基底向量相互正交歸一:

其中,就是克羅內克函數。當時,則,否則

邏輯上,在方程式內的任意項目,若遇到了克羅內克函數,就可以把方程式中的標號轉為或者把標號轉為。所以,

向量的叉積[编辑]

採用同樣的標準正交基,兩個向量叉積,以方程式表示為

注意到

其中,張量列维-奇维塔符号,定義為

,若 (偶置換
,若 (奇置換)
,若

所以,

設定,那麼,

所以,

向量的共變分量和反變分量[编辑]

歐幾里得空間裏,共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量;對於所有向量,通過下述方程式,向量唯一地確定了餘向量

逆過來,通過上述方程式,每一個餘向量唯一地確定了向量。由於這向量與餘向量的相互辨認,我們可以提到向量的共變分量和反變分量;也就是說,它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予的一個基底,則必存在一個唯一的對偶基底,滿足

其中,張量克羅內克函數

以這兩種基底,任意向量可以寫為兩種形式

其中,是向量對於基底的反變分量,是向量對於基底的共變分量,

歐幾里得空間[编辑]

將向量 投影於坐標軸,可以求得其反變分量;將向量投影於坐標曲面法線,可以求得其共變分量

歐幾里得空間裏,使用內積運算,能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底,其基底向量為,就可以計算其對偶基底的基底向量:

其中,是基底向量共同形成的平行六面體的體積。

反過來計算,

其中,是基底向量共同形成的平行六面體的體積。

雖然並不相互標準正交,它們相互對偶:

雖然並不相互標準正交,它們相互對偶:

這樣,任意向量的反變分量為

類似地,共變分量為

這樣,可以表示為

或者,

綜合上述關係式,

向量的共變分量為

其中,度規張量

向量的反變分量為

 ;

其中,共軛度規張量

共變分量的標號是下標,反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基,或反變基底向量組成的基底是標準正交基,則共變基底與反變基底相互等價。那麼,就沒有必要分辨共變分量和反變分量,所有的標號都可以用下標來標記。

抽象定義[编辑]

思考維度為的向量空間。給予一個可能不是標準正交基的基底。那麼,在內的向量,對於這基底,其分量為、...。以方程式表示,

在這方程式右手邊,標號在同一項目出現了兩次,一次是上標,一次是下標,因此,從等於,這項目的每一個可能值都必須總和在一起。

愛因斯坦約定的優點是,它可以應用於從張量積對偶性建立的向量空間。例如,與自己的張量積,擁有由形式為的張量組成的基底。任意在內的張量可以寫為

向量空間對偶空間擁有基底,遵守規則

其中,克羅內克函數

範例[编辑]

為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定,在這裏給出幾個簡單的例子。

  • 思考四維時空,標號的值是從0到3。兩個張量,經過張量縮併tensor contraction)運算後,變為一個純量:
  • 方程式的右手邊有兩個項目:
由於運算結果與標號無關,可以被其它標號隨意更換,所以,稱為傀標號
自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏,而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏,是自由標號,每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目裏,標號出現了兩次,一次是上標,一次是下標,所以,這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱求和標號
  • 思考在黎曼空間的弧線元素長度
。請將這兩種標號跟自由變量和約束變量相比較。
進一步擴展,
注意到乘以,是,而不是坐標的微小元素。當有疑慮時,可以用括號來分歧義。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Einstein, Albert, The Foundation of the General Theory of Relativity (PDF), Annalen der Physik, 1916 [2006-09-03] 
  2. ^ Byron, Frederick; Fuller, Robert, Mathematics of classical and quantum physics, Courier Dover Publications: pp. 5, 1992, ISBN 9780486671642 

外部連結[编辑]