张量积

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数学中,张量积,记为 \otimes,可以应用于不同的上下文中如向量矩阵张量向量空间代数拓扑向量空间。在各种情况下这个符号的意义是同样的: 最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积

例子:


\mathbf{b} \otimes \mathbf{a}
\rightarrow
\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix}  
\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}

结果的秩为1,结果的维数为 4×3 = 12。

这里的秩指示张量秩(所需指标数),而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目;矩阵的秩是 1。

代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积

两个张量的张量积[编辑]

有两个(或更多)张量积的分量的一般公式。例如,如果 UV 是秩分别为 nm 的两个协变张量,则它们的张量积的分量给出为

(V\otimes U)_{i_1i_2\dots i_{m+n}} = V_{i_1i_2i_3\dots i_n}U_{i_{n+1}i_{n+2}\dots i_{n+m}}[1]

所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。

注意在张量积中,因子 U 消耗第一个 rank(U) 指标,而因子 V 消耗下一个 rank(V) 指标,所以

\mathrm{rank}( U \otimes V )=\mathrm{rank}(U)\mathrm{rank}(V)

例子[编辑]

U 是类型 (1,1) 的张量,带有分量 Uαβ;并设 V 是类型 (1,0) 的张量,带有分量 Vγ。则

 U^\alpha {}_\beta V^\gamma = (U \otimes V)^\alpha {}_\beta {}^\gamma

 V^\mu U^\nu {}_\sigma = (V \otimes U)^{\mu \nu} {}_\sigma

张量积继承它的因子的所有指标。

两个矩阵的克罗内克积[编辑]

对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积,用来明确结果有特定块结构在其上,其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 UV:

U \otimes V
        = \begin{bmatrix} u_{11}V & u_{12}V & \cdots \\
                          u_{21}V & u_{22}V \\
                          \vdots  &         & \ddots
          \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}
       u_{11}v_{11} & u_{11}v_{12} & \cdots & u_{12}v_{11} & u_{12}v_{12} & \cdots \\
       u_{11}v_{21} & u_{11}v_{22} &        & u_{12}v_{21} & u_{12}v_{22} \\
       \vdots       &              & \ddots \\
       u_{21}v_{11} & u_{21}v_{12} \\
       u_{21}v_{21} & u_{21}v_{22} \\
       \vdots
   \end{bmatrix}

多重线性映射的张量积[编辑]

给定多重线性映射 f(x_1,\dots,x_k)g(x_1,\dots,x_m) 它们的张量积是多重线性函数

 (f \otimes g) (x_1,\dots,x_{k+m})=f(x_1,\dots,x_k)g(x_{k+1},\dots,x_{k+m})

向量空间的张量积[编辑]

在域 K 上的两个向量空间 VW 的张量积 V \otimes W 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些 (v,w) 的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 v \otimes w。通过构造,可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。

要构造 V \otimes W,采用在 K 之上带有基 V \times W 的向量空间,并应用(因子化所生成的子空间)下列多线性关系:

  • (v_1+v_2)\otimes w=v_1\otimes w+v_2\otimes w
  • v\otimes (w_1+w_2)=v\otimes w_1+v\otimes w_2
  • cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)

这里的 v,v_i,w,w_i 是来自适当空间的向量,而 c 来自底层域 K

我们可以推出恒等式

0v\otimes w=v\otimes 0w=0(v\otimes w)=0

零在 V \otimes W 中。

结果的张量积 V \otimes W 自身是向量空间,它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 VW\{v_i\}\{w_i\},形如 v_i \otimes w_j 的张量形成 V \otimes W 的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积;例如 \mathbb{R}^m \otimes \mathbb{R}^n 有维数 mn

张量积的泛性质[编辑]

张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 VW 与给出自

\phi (u,w)=  u \otimes w

的自然嵌入映射 φ : V × WVW 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对 (X, ψ),这里的 X 是向量空间,而 ψ 是双线性映射 V × WX,则存在一个唯一的线性映射

T : V \otimes W \rightarrow X

使得

\psi = T \circ \phi

假定这个泛性质,张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。

直接推论是从 V × WX 的双线性映射

B(V \times W, X)

和线性映射

L(V \otimes W, X)

的同一性。它是 ψT 的自然同构映射。

希尔伯特空间的张量积[编辑]

两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间,其定义如下。

定义[编辑]

H_1H_2 是两个希尔伯特空间,分别带有内积 \langle \cdot,\cdot\rangle_1\langle \cdot,\cdot\rangle_2。构造 H1H2 的张量积H_1\hat\otimes H_2如下:

考虑他们的作为线性空间的张量积H=H_1\otimes H_2H_1H_2上的内积自然地扩展到H上:

由内积的双线性(Bilinearity),只需定义

\langle\phi_1\otimes\phi_2,\psi_1\otimes\psi_2\rangle = \langle\phi_1,\psi_1\rangle_1 \cdot \langle\phi_2,\psi_2\rangle_2

其中  \phi_1,\psi_1 \in H_1  \phi_2,\psi_2 \in H_2 即可。

现在H是一未必完备的内积空间。将H完备化,得到希尔伯特空间H_1\hat\otimes H_2,这就是 H1H2作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中,H_1\hat\otimes H_2具有如前所述的泛性质,即它是二者在该范畴内的乘积。

性质[编辑]

如果 H1H2 分别有正交基k} 和 {ψl},则 {φk ⊗ ψl} 是 H1 ⊗ H2 的正交基。

与对偶空间的关系[编辑]

在泛性质的讨论中,替代 XVW 的底层标量域生成空间  (V \otimes W)^\star ( V \otimes W对偶空间,包含在那个空间上的所有线性泛函),它自然的同一于在 V \times W 上所有双线性函数的空间。换句或说,所有双线性泛函是在张量积上的泛函,反之亦然。

只要 VW 是有限维的,在  V^\star \otimes W^\star (V \otimes W)^\star 之间有一个自然的同构,而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 V^\star \otimes W^\star\subset (V \otimes W)^\star。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法,把双线性泛函看做张量积自身。

注解[编辑]

  1. ^ 类似的公式对反变以及混合型张量也成立。尽管许多情形,比如定义了一个内积,这种区分是无关的。

参见[编辑]