潘洛斯圖形符號

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數學物理學中,潘洛斯圖形符號英语:Penrose graphical notation)或稱張量圖符號tensor diagram notation)是多線性函數張量的一種圖形表示法,由羅傑·潘洛斯所提出。[1]

這樣的圖有多種幾何圖案,之間由線段相連。Predrag Cvitanović曾深入研究此方法,將之用在古典李群的分類上。[2]

透過表示論,此方法也被推廣至物理學中的自旋網路,以及線性代數矩陣群相關的跡數圖英语trace diagram

詮釋[编辑]

多線性代數[编辑]

張量[编辑]

矩陣[编辑]

特殊張量表象[编辑]

度規張量[编辑]

度規張量由U形或倒U形的迴圈所表示,正U或倒U由張量類型決定。

度規張量
度規張量

列維-奇維塔張量[编辑]

列維-奇維塔反對稱張量由粗的水平橫桿來表示,其上有朝上或朝下的小棍,由張量類型所決定。

結構常數[编辑]

李代數的結構常數()由一帶有一條朝上線、兩條朝下線的小三角形所表示。

結構常數

張量運算[编辑]

指標縮併[编辑]

指標進行張量縮併英语Tensor contraction可由指標線相連來表示。

克羅內克δ函數
點積

對稱化[编辑]

指標的對稱化由水平穿越指標線的粗鋸齒狀橫桿來表示。

對稱化

(其中

反對稱化[编辑]

指標的反對稱化是由水平穿越指標線的粗直線來表示。

反對稱化

(其中

行列式[编辑]

行列式透過指標的反對稱化而形成。

行列式
逆矩陣

協變導數[编辑]

協變導數)是由一圍繞待運算之張量的圓圈所表示,另有一條朝下的線連接圓圈表示導數的下標。

協變導數

張量操作[编辑]

圖形符號法在張量代數的操作中頗有用處。這些操作通常牽涉到一些與張量有關的恆等式

舉例來說,一個常見的恆等式:

其中n是維度。

黎曼曲率張量[编辑]

使用黎曼曲率張量所描述的里奇恆等式與比安基恆等式,可展示出潘洛斯圖形符號的威力。

里奇張量
里奇恆等式
比安基恆等式

擴充[编辑]

此符號標記法已擴充到旋量扭量的使用。[3][4]

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ see e.g. Quantum invariants of knots and 3-manifolds" by V. G. Turaev (1994), page 71
  2. ^ Predrag Cvitanović. Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press. 2008. 
  3. ^ Penrose, R.; Rindler, W. Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. 1984: 424–434. ISBN 0-521-24527-3. 
  4. ^ Penrose, R.; Rindler, W. Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry. Cambridge University Press. 1986. ISBN 0-521-25267-9. 

外部連結[编辑]