表示论

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表示論數學抽象代數的一支。旨在將代數結構中的元素「表示」成向量空間上的線性變換,藉以研究結構的性質。

略言之,表示論將一代數對象表作較具體的矩陣,並使得原結構中的操作對應到矩陣運算,如矩陣的合成、加法等等。此法可施於結合代數李代數等多種代數結構;其中肇源最早,用途也最廣的是群表示論。設G為群,其在域F(常取複數F = \mathbb{C})表示是一F-矢量空間V及映至一般線性群群同態

\rho: G \to \mathrm{GL}(V)

假設V有限維,則上述同態即是將G的元素映成可逆矩陣,並使得群運算對應到矩陣乘法。

表示論的妙用在於能將抽象的代數問題轉為線性代數的操作;若考慮無窮維希爾伯特空間上的表示,並要求一些連續性條件,此時表示論就牽涉到一些泛函分析的課題。

表示論在自然科學中也有應用。對稱性的問題離不開群,而群的研究又有賴於其表示,最明顯的例子便是李群及李代數表示論在量子力學中的關鍵角色。「表示」的概念後來也得到進一步的推廣,例如範疇的表示。