自守形式

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數學上所謂的自守形式,是一類特別的複變數函數,並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示,嚴格言之,自守表示並非尋常意義下的群表示,而是整體赫克代數上的模。

龐加萊在1880年代曾研究過自守形式,他稱之為富克斯函數郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。

古典定義[编辑]

\Gamma 為作用於複區域 D 的離散群。取定自守因子 j_{\gamma}(x), \;(\gamma \in \Gamma, x \in D) m \in \N。相應的權 m 自守形式D 上滿足下述函數方程全純函數

j_{\gamma}(x)^m f(\gamma(x)) = f(x), \quad x \in D, \gamma \in \Gamma

自守因子 j_\gamma(x)\gamma 固定時是 D 上的全純函數,並且是 \Gamma 上的 1-閉上鏈

定義中的複值函數 f 可推廣成取值為矩陣的函數;權 m 的限制亦可放鬆,例如半整數 m \in \frac{1}{2}+\Z

群上的定義[编辑]

自守形式另有群表示理論的詮釋,並牽涉數論,但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見,以下設 G=\mathrm{GL}(n),其中心可等同於 \mathbb{G}_m

考慮整體域 F(例如 F=\mathbb{Q}),由此定義 G阿代爾點 G(\mathbb{A}_F),賦予相應的拓撲結構,並取定標準的緊子群 K

固定一擬特徵 \omega: F^\times \backslash \mathbb{A}_F^\times \to \mathbb{C}^\times。以 \omega中心特徵的自守形式定為 G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F) 上滿足下列條件的複值函數 f

  1. f 光滑:若 F函數域,這代表 f 是局部常數函數。否則意謂存在一組 G(\mathbb{A}_F)開覆蓋 \mathcal{U},對每個 h \in U \in \mathcal{U}f(h) = f_U(h_\infty),而 f_U 無窮可微。
  2. fK-有限:函數 f(\cdot k) \;(k \in K) 張成有限維向量空間。
  3. 承上,設 \mathcal{Z}_v泛包絡代數 U(\mathfrak{gl}(n,F_v)) 之中心,則 f\mathcal{Z}_v-有限。
  4. 緩增性:固定適當的高度函數 \|\cdot\|: G(\mathbb{A}_F) \to \mathbb{R}_{>0}(取法不影響定義),存在常數 CN \in \N 使得 |f(g)| \leq C\|g\|^N

註記.vF阿基米德賦值,條件二中張出的空間在李代數 \mathfrak{gl}(n,F_v) 的作用 f \mapsto Xf 下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數

若對所有 r+s=n\, (0 < r,s < n) 皆有

\int_{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb{A}_F)} f\begin{pmatrix} I_r & X \\ 0 & I_s\end{pmatrix} \,dX = 0

則稱 f尖點形式

自守表示[编辑]

定義 \mathcal{A}(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega) 為中心特徵為 \omega 的自守形式集,子空間 \mathcal{A}_0(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega) 則為尖點形式集。

這兩個空間是有限阿代爾群 G(\mathbb{A}_\mathrm{fin}) 的表示;對阿基米德賦值則帶有 (\mathfrak{g},K)-模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數 \mathcal{H}_{G(\mathbb{A}_F)} 的表示。注意:它們並非 G(\mathbb{A}) 的表示!

一個自守表示\mathcal{H}_{G(\mathbb{A}_F)}-模 \mathcal{A}(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega)子商\omega 稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示\mathcal{A}_0(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega) 之子空間。

文獻[编辑]

  • A.N. Parshin, Automorphic Form//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
  • Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
  • Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .

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