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自守形式

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數學上所謂的自守形式,是一類特別的複變數函數,並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示,嚴格言之,自守表示並非尋常意義下的群表示,而是整體赫克代數上的模。

龐加萊在1880年代曾研究過自守形式,他稱之為富克斯函數郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。

古典定義[编辑]

為作用於複區域 的離散群。取定自守因子 。相應的權 自守形式 上滿足下述函數方程全純函數

自守因子 固定時是 上的全純函數,並且是 上的 1-閉上鏈

定義中的複值函數 可推廣成取值為矩陣的函數;權 的限制亦可放鬆,例如半整數

群上的定義[编辑]

自守形式另有群表示理論的詮釋,並牽涉數論,但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見,以下設 ,其中心可等同於

考慮整體域 (例如 ),由此定義 阿代爾點 ,賦予相應的拓撲結構,並取定標準的緊子群

固定一擬特徵 。以 中心特徵的自守形式定為 上滿足下列條件的複值函數

  1. 光滑:若 函數域,這代表 是局部常數函數。否則意謂存在一組 開覆蓋 ,對每個 ,而 無窮可微。
  2. -有限:函數 張成有限維向量空間。
  3. 承上,設 泛包絡代數 之中心,則 -有限。
  4. 緩增性:固定適當的高度函數 (取法不影響定義),存在常數 使得

註記.阿基米德賦值,條件二中張出的空間在李代數 的作用 下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數

若對所有 皆有

則稱 尖點形式

自守表示[编辑]

定義 為中心特徵為 的自守形式集,子空間 則為尖點形式集。

這兩個空間是有限阿代爾群 的表示;對阿基米德賦值則帶有 -模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數 的表示。注意:它們並非 的表示!

一個自守表示-模 子商 稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示 之子空間。

文獻[编辑]

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