數學上所謂的自守形式(英語:Automorphic form),是一類特別的複變數函數,並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示,嚴格言之,自守表示並非尋常意義下的群表示,而是整體赫克代數上的模。
龐加萊在1880年代曾研究過自守形式,他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。
設
為作用於複區域
的離散群。取定自守因子
及權
。相應的權
自守形式是
上滿足下述函數方程的全純函數
。
自守因子
當
固定時是
上的全純函數,並且是
上的 1-閉上鏈。
定義中的複值函數
可推廣成取值為矩陣的函數;權
的限制亦可放鬆,例如半整數
。
自守形式另有群表示理論的詮釋,並牽涉數論,但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見,以下設
,其中心可等同於
。
考慮整體域
(例如
),由此定義
的阿代爾點
,賦予相應的拓撲結構,並取定標準的緊子群
。
固定一擬特徵
。以
為中心特徵的自守形式定為
上滿足下列條件的複值函數
:
光滑:若
為函數域,這代表
是局部常數函數。否則意謂存在一組
的開覆蓋
,對每個
,
,而
無窮可微。
- 对任何
及任何
,总有
。
右
-有限:函數
張成有限維向量空間。
- 承上,設
為泛包絡代數
之中心,則
為
-有限。
- 緩增性:固定適當的高度函數
(取法不影響定義),存在常數
及
使得
。
註記. 若
是
的阿基米德賦值,條件二中張出的空間在李代數
的作用
下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數。
若對所有
皆有

則稱
為尖點形式。
定義
為中心特徵為
的自守形式集,子空間
則為尖點形式集。
這兩個空間是有限阿代爾群
的表示;對阿基米德賦值則帶有
-模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數
的表示。注意:它們並非
的表示!
一個自守表示是
-模
之子商,
稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示是
之子空間。
- A.N. Parshin, Automorphic Form, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
- Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
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