李超代数

李超代数是李代数的推广，包含了Z₂‑分次代数。李超代数在理论物理中十分重要，用于描述超对称的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应玻色子，奇元素大多对应费米子（也有相反者，如BRST超对称）。

定义

形式上看，李超代数是交换环（一般是R或C）上的非结合Z₂-分次代数，或“超代数”，其积为[·, ·]，称作李超括号或超交换子，满足两个条件（与分次的通常李代数类似）：

超反对称性（skew-symmetry）：

$[x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\$

超雅可比恒等式：

$(-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,$

其中x、y、z在Z₂分次中为纯。|x|表示x的度（0或1）。[x,y]的度是x、y度之和模2。

有时，还会在$|x|=0$时添加公理$[x,x]=0$（若2可逆，则公理自动成立）；对$|x|=1$时，有$[[x,x],x]=0$（若3可逆，则公理自动成立）。当基环是整数或李超代数是自由模时，这些条件等同于庞加莱–伯克霍夫–威特定理成立的条件（一般而言是定理成立的必要条件）。

正如对李代数一样，李超代数的泛包络代数可被赋予霍普夫代数结构。 反交换、在分次意义上雅可比的分次李代数（按Z或N分次）也有$Z_{2}$分次（称作将代数“卷”为奇偶部分），但不称作“超”。

性质

令${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$为李超代数。通过观察雅可比恒等式，可发现有8种情况取决于参数的奇偶。以奇元素个数为索引，分成4类：

1. 无奇元素。即${\mathfrak {g}}_{0}$为平凡李代数。
2. 1个奇元素。则${\mathfrak {g}}_{1}$是作用$\mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}$的${\mathfrak {g}}_{0}$模。
3. 2个奇元素。雅可比恒等式说明括号${\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}$是对称${\mathfrak {g}}_{1}$映射。
4. 3个奇元素。对所有$b\in {\mathfrak {g}}_{1}$，都有$[b,[b,b]]=0$。

因此，李超代数的偶超代数${\mathfrak {g}}_{0}$形成（正常）李代数，因为所有符号都消失了，超括号变为普通李括号；而${\mathfrak {g}}_{1}$是${\mathfrak {g}}_{0}$的线性表示，存在对称${\mathfrak {g}}_{0}$等变线性映射$\{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}$使得

$[\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.$

条件(1)–(3)是现行的，都可以用普通李代数来理解。条件(4)是飞现行的，且是在从普通李代数（${\mathfrak {g}}_{0}$）和表示（${\mathfrak {g}}_{1}$）开始构造李超代数时最难验证的条件。

对合

^∗李超代数是配备自身到自身的对合反线性映射的复李超代数，映射反映Z₂分次且对李超代数中所有x、y都有$[x,\ y]^{*}=[y^{*},\ x^{*}]$（有人更喜好约定$[x,\ y]^{*}=(-1)^{|x||y|}[y^{*},\ x^{*}]$；将*改为−*可在两种约定之间切换）。其泛包络代数将是普通对合代数。

例子

给定结合超代数$A$，可通过以下方式定义齐次元素上的超交换子：

$[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\$

然后线性延伸到所有元素。代数$A$与超交换子共同构成李超代数。这个过程最简单的例子也许是当$A$为超向量空间$V$中所有线性函数$\mathbf {End} (V)$的空间。$V=\mathbb {K} ^{p|q}$时，该空间可表为$M^{p|q}$或$M(p|q)$。用上述李括号，空间可表为${\mathfrak {gl}}(p|q)$。

同伦群上的怀特海德积给出了许多整数上的李超代数的例子。

超庞加莱代数生成了平面超空间的等距。

分类

维克托·卡茨对简单复有限维李超代数进行了分类：（不包括李代数） 特殊线性李超代数 ${\mathfrak {sl}}(m|n)$.

李超代数${\mathfrak {sl}}(m|n)$是${\mathfrak {gl}}(m|n)$的超代数，包含超迹为0的矩阵。$m\not =n$时是简单的；$m=n$时，单位矩阵$I_{2m}$产生一个理想。对理想取商，可得 ${\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle$，对$m\geq 2$是简单的。

正交辛李超代数 ${\mathfrak {osp}}(m|2n)$.

考虑$\mathbb {C} ^{m|2n}$上的偶、非退化、超对称双射形式$\langle \cdot ,\cdot \rangle$，则正交辛李超代数是${\mathfrak {gl}}(m|2n)$的超代数，包含的矩阵满足下式不变：

$${\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.$$

其偶部由${\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)$给出。

例外李超代数 $D(2,1;\alpha )$.

有一族取决于参数$\alpha$的(9∣8)维李超代数，它们是$D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)$的变形。若$\alpha \not =0$、$\alpha \not =-1$，则D(2,1,α)是简单的；若$\alpha$、$\beta$在映射$\alpha \mapsto \alpha ^{-1}$、$\alpha \mapsto -1-\alpha$的作用下处于同一轨道，则$D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )$。

例外李超代数 $F(4)$.

具有维度(24|16)。偶部由${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)$给出。

例外李超代数 $G(3)$.

具有维度(17|14)。偶部由${\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}$给出。

还有2个所谓“奇异”序列，分别叫做${\mathfrak {pe}}(n)$、${\mathfrak {q}}(n)$.

Cartan类型。可分为4族：$W(n)$、$S(n)$、${\widetilde {S}}(2n)$、$H(n)$。对于简单李超代数的Cartan类型，奇部在偶部的作用下不再完全可还原。

无穷维简单线性紧李超代数的分类

分类包含10个系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5个例外代数：

E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

最后两个特别有趣（据Kac所说），因为它们的零级代数是标准模型规范群SU(3)×SU(2)×U(1)。无穷维（仿射）李超代数是超弦理论中重要的对称，具体来说，具有${\mathcal {N}}$超对称的Virasoro代数是$K(1,{\mathcal {N}})$，其只有中心扩展到${\mathcal {N}}=4$。

范畴论定义

范畴论中，李超代数可定义为非结合超代数，其积满足

• $[\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0$
• $[\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0$

其中σ是循环包络辫$({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })$。以图表示：

另见

• 格尔斯滕哈伯代数
• 任意子李代数
• 外代数
• 李超代数的表示
• 超空间
• 超群
• 泛包络代数

参考文献

• Cheng, S.-J.; Wang, W. Dualities and Representations of Lie Superalgebras. Graduate Studies in Mathematics 144. 2012: 302pp. ISBN 978-0-8218-9118-6. 
• Freund, P. G. O. Introduction to supersymmetry. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. 1983. ISBN 978-0521-356-756. doi:10.1017/CBO9780511564017. 
• Grozman, P.; Leites, D.; Shchepochkina, I. Lie Superalgebras of String Theories. Acta Mathematica Vietnamica. 2005, 26 (2005): 27–63. Bibcode:1997hep.th....2120G. arXiv:hep-th/9702120 . 
• Kac, V. G. Lie superalgebras. Advances in Mathematics. 1977, 26 (1): 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2 . 
• Kac, V. G. Classification of Infinite-Dimensional Simple Groups of Supersymmetries and Quantum Field Theory. Visions in Mathematics. 2010: 162–183. ISBN 978-3-0346-0421-5. S2CID 15597378. arXiv:math/9912235 . doi:10.1007/978-3-0346-0422-2_6. 
• Manin, Y. I. Gauge Field Theory and Complex Geometry (2nd ed.). Berlin: Springer. 1997. ISBN 978-3-540-61378-7. 
• Musson, I. M. Lie Superalgebras and Enveloping Algebras. Graduate Studies in Mathematics 131. 2012: 488 pp [2023-11-19]. ISBN 978-0-8218-6867-6. （原始内容存档于2015-09-15）. 
• Varadarajan, V. S. Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. 2004 [2023-11-19]. ISBN 978-0-8218-3574-6. （原始内容存档于2023-11-19）. 

历史

• Frölicher, A.; Nijenhuis, A. Theory of vector valued differential forms. Part I. Indagationes Mathematicae. 1956, 59: 338–350. doi:10.1016/S1385-7258(56)50046-7. .
• Gerstenhaber, M. The cohomology structure of an associative ring. Annals of Mathematics. 1963, 78 (2): 267–288. JSTOR 1970343. doi:10.2307/1970343. 
• Gerstenhaber, M. On the Deformation of Rings and Algebras. Annals of Mathematics. 1964, 79 (1): 59–103. JSTOR 1970484. doi:10.2307/1970484. 
• Milnor, J. W.; Moore, J. C. On the structure of Hopf algebras. Annals of Mathematics. 1965, 81 (2): 211–264 [2023-11-19]. JSTOR 1970615. doi:10.2307/1970615. （原始内容存档于2023-11-19）. 

外部链接

• Irving Kaplansky + Lie Superalgebras