西格爾模形式

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數學中,西格爾模形式辛群上的自守形式。西格爾模形式是西格爾上半平面上的一類多變元全純函數模形式是其特例。在模空間的意義下,若模形式對應到橢圓曲線,則西格爾模形式便對應更廣的阿貝爾簇

卡爾·西格爾在1930年代引入這個概念,本意在以解析數論處理二次型的問題。西格爾模形式後來也用於代數幾何橢圓上同調及某些物理學問題,例如共形場論

定義[编辑]

固定正整數 g, N。首先定義西格爾上半平面

\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{T}=\tau, \textrm{Im}(\tau) >0 \right\},

換言之,此即虛部正定對稱矩陣構成的空間。

再定義一個離散子群

\Gamma_g(N)=\left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big| \ \gamma^{T} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} , \ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},

其中 I_gg \times g單位矩陣

再設

\rho:\textrm{GL}(g,\mathbb{C}) \rightarrow \textrm{GL}(V)

為一有理複表示,這相當於說 \rho代數簇之間的有理映射,並保持群運算。

現在可以定義西格爾模形式:對任一函數 f: \mathcal{H}_g \to V,我們採用下述符號

\gamma=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
(f\big|\gamma)(\tau) := (\rho(C\tau+D))^{-1}f(\gamma\tau).

所謂權為 \rho、次數為 g、階為 N 的西格爾模形式,是滿足下述條件的全純函數 f: \mathcal{H}_g \to V

\forall \gamma \in \Gamma_g(N)\; (f\big|\gamma)=f.

g=1 時,須要求 f 在無窮遠處全純。對於 g>1,可證明此條件自動成立(Koecher 定理)。

外部連結[编辑]