霍普夫代數

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數學中,霍普夫代數是一類雙代數,亦即具有相容的結合代數餘代數結構的向量空間,配上一個對極映射,後者推廣了上的逆元運算 。霍普夫代數以數學家海因茨·霍普夫命名,此類結構廣見於代數拓撲群概形論、量子群等數學領域。

定義[编辑]

所謂霍普夫代數,是指一個 上的雙代數 ,配上一個線性映射 (稱為對極映射),使得下述圖表交換:

antipode commutative diagram

利用 Sweedler 記號,此定義亦可表為

對極映射可理解為 卷積之逆,故其若存在必唯一。當 ,則稱 對合的;交換或餘交換霍普夫代數必對合。

根據定義,有限維霍普夫代數的對偶空間也帶有自然的霍普夫代數結構。

例子[编辑]

群代數. 設 為群,可賦予群代數 下述霍普夫代數結構:

有限群上的函數. 設 為有限群,置 為所有 的函數,並以逐點的加法與乘法使之成為結合代數。此時有自然的同構 。定義:

仿射代數概形的座標環:處理方式同上。

泛包絡代數. 假設 是域 上的李代數,置 為其泛包絡代數,定義:

後兩條規則與交換子相容,因此可唯一地延拓至整個 上。

李群的上同調[编辑]

李群上同調代數構成一個霍普夫代數,其代數結構由上同調的上積給出,餘代數結構則來自群乘法 ,由此導出

對極映射來自 。這是霍普夫代數的歷史起源,事實上,霍普夫藉著研究這種結構,得以證明李群上同調的結構定理:

定理(霍普夫,1941年)[1].

上的有限維分次交換、餘交換之霍普夫代數,則 (視為 -代數)同構於由奇數次元素生成的自由外代數

量子群與非交換幾何[编辑]

上述所有例子若非交換便是餘交換的。另一方面,泛包絡代數的某些「變形」或「量子化」可給出非交換亦非餘交換的例子;這類霍普夫代數常被稱為量子群,儘管嚴格而言它們並不是群。這類代數在非交換幾何中相當重要:一個仿射代數群可以由其座標環構成的霍普夫代數刻劃,而這些霍普夫代數的變形則可設想為某類「量子化」了的代數群(實則非群)。

文獻[编辑]

註記[编辑]

  1. ^ H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119-151, Springer, Berlin (1964). MR4784