代數同態

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AB兩個K-多元環之間的同態是指一個函數F:A\rightarrow B,此函數能使得對所有在K內的k和在A內的xy來說,

  • F(kx) = kF(x)
  • F(x + y) = F(x) + F(y)
  • F(xy) = F(x)F(y)

F双射的,則F稱為是AB之間的同構

例子[编辑]

A=K[x]為在一個體K上的所有多項式所組成的集合,且B為一個在K上所有多項式函數所組成的集合,則AB兩個都會是在K上分別由標準的多項式和函數的乘法及加法所構成的代數。可以將每個在A內的f\,\hat{f}(t) = f(t) \, 的方式映射至於B內的\hat{f}\,。很簡單便可以知道這個映射f \rightarrow \hat{f}\,會是一個AB兩個代數之間的同態。若K是一個有限體的話,則可令

p(x) = \Pi_{t \in K} (x-t).\,

其中p是一個在K[x]內的非零多項式。但對所有在K內的tp(t) = 0\,,所以其映射\hat{p} = 0\,都會是一個零值函數,這兩個代數因此不會是同構的。

K是無限的,則令\hat{f} = 0\,。接下來要證明這會使得f = 0\,。設deg(f) = n\,t_0,t_1,\dots,t_n\,Kn+1個不同的元素,則對0 \le i \le n都會有f(t_i) = 0\,。再利用拉格朗日插值便能得到f = 0\,。因此映射f \rightarrow \hat{f}\,是單射的,故而有一個在AB之間的同構。