代數同態

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

AB兩個K-多元環之間的同態是指一個函數,此函數能使得對所有在K內的k和在A內的xy來說,

  • F(kx) = kF(x)
  • F(x + y) = F(x) + F(y)
  • F(xy) = F(x)F(y)

F双射的,則F稱為是AB之間的同構

例子[编辑]

A=K[x]為在一個體K上的所有多項式所組成的集合,且B為一個在K上所有多項式函數所組成的集合,則AB兩個都會是在K上分別由標準的多項式和函數的乘法及加法所構成的代數。可以將每個在A內的的方式映射至於B內的。很簡單便可以知道這個映射會是一個AB兩個代數之間的同態。若K是一個有限體的話,則可令

其中p是一個在K[x]內的非零多項式。但對所有在K內的t,所以其映射都會是一個零值函數,這兩個代數因此不會是同構的。

K是無限的,則令。接下來要證明這會使得。設Kn+1個不同的元素,則對都會有。再利用拉格朗日插值便能得到。因此映射是單射的,故而有一個在AB之間的同構。