卡茨-穆迪代数

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卡茨-穆迪代数是一個李代數,通常無限維,其定義自(Victor Kac所謂的)廣義根系。卡茨-穆迪代数的應用遍及數學理論物理學

定義[编辑]

假定以下材料:

  • ——一個r廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix) r.
  • ———— 一個 2n − r維複向量空間 .
  • ———— 對偶空間
  • ————n 枚相互獨立的元,稱為對偶根(co-root)
  • ————n 枚線性相互獨立的元 ,稱為(root)
  • 上述各元滿足 .

卡茨-穆迪代数 由符號 , (i=1,..,n) 及空間 生成:

以上各元滿足以下關係:

  • ;其中
  • , 其中
  • , 其中
  • ;其中
  •  ;其中出現 次;
  •  ;其中出現 次;

(其中 .)

一個 (維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數,若其 複化 是個 Kac–Moody代數.

釋義[编辑]

  • 是此卡茨-穆迪代数的一嘉當子代數
  • g 是 Kac–Moody 代數的一元,使得

其中 ω 是 的一元,

則稱g(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間,則嘉當子代數 的冪为零,ei的冪为α*i,而fi的冪为−α*i。若二冪特徵向量的李括號非零,則其冪是二冪之和。(若 ) 則 一條件即指 α*i 都是簡單根。

分類[编辑]

我们可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣, S 是 對稱矩陣。 然則有三種可能:

S 不可能 負定負半定 因其對角元皆正.

參見[编辑]

參考[编辑]