双线性映射

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在数论中,一个双线性映射是由两个向量空间上的元素,生成第三个向量空间上一个元素之函数,并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。

定义[编辑]

, 是在同一个基础上的三个向量空间。双线性映射是函数

使得对于任何,映射

是从线性映射,并且对于任何中的,映射

是从的线性映射。

换句话说,如果保持双线性映射的第一个参数固定,并留下第二个参数可变,结果就是线性算子,如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果并且有对于所有中的,则我们称对称的。

当这里的的时候,我们称之为双线性形式,它特别有用(参见例子标量积内积二次形式)。

如果使用在交换环上的替代向量空间,定义不需要任何改变。还可容易的推广到元函数,这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环和右模与左模的情况,我们可以定义双线性映射,这里的是阿贝尔环,使得对于任何中的是群同态,而对于任何中的是群同态,并还满足

对于所有的中的中的

性质[编辑]

定义的, ,是有限维的,则也是。对于就是双线性形式,这个空间的维度是(尽管线性形式的空间的维度是)。要看出来,选择;接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵,反之亦然。现在,如果是更高维的空间,我们明显的有(如果, ,是有限维的,则也是。对于就是双线性形式,这个空间的维度是(尽管线性形式的空间的维度是)。要看出来,选择;接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵,反之亦然。现在,如果是更高维的空间,我们明显的有

例子[编辑]

  • 矩阵乘法是双线性映射
  • 如果在实数上的向量空间承载了内积,则内积是双线性映射
  • 一般的说,对于在域上的向量空间,在上的双线性形式同于双线性映射
  • 如果是有对偶空间的向量空间,则应用算子是从到基础域的双线性映射。
  • 是在同一个基础域上的向量空间。如果的成员而的成员,则定义双线性映射
  • 叉积是双线性映射
  • 是双线性映射,而线性算子,则是在上的双线性映射。
  • 零映射,定义于对于所有中的,是从的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上,如果,则

参见[编辑]