求和符号

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求和符号Σ,sigma),是欧拉于1755年首先使用的。这个符号是源于希腊文σογμαρω(增加)的字头,Σ正是σ的大写。求和的结果是給定的數值相後的總值,又稱加總

舉例而言,若有4個數值:1、3、5、7,則這4個數值的總和為:

16 = 1 + 3 + 5 + 7

擴展為數學的一般式:

若有n個數值x1、x2、...、xn,則此n個數值的總和為:

Σ = x1 + x2 + ... + xn

上式的等號右段在數學上常簡潔地寫為:

\sum^{n}_{i=1} x_i

求和方法[编辑]

  1. 裂項法:例如a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
  2. 錯位相減法:適用於通項為等比和等差通項之積形式的數列求和。
  3. 配對法:適合某些正負相間型的數列。
  4. 逐項求導:可從\displaystyle \sum_{k=0}^n x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}推導出\displaystyle \sum_{k=0}^n k^m x^k[1]
  5. 倒序求和:對於有對稱中心的函數f(x)+f(2a-x)=2b首尾求和[2][3]

常見的總和公式[编辑]

其中\Delta p(n)=p(n+1)-p(n)

數列求和公式[编辑]

  •  \sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}=a_1C_n^1+dC_n^2
  •  \sum_{i=0}^{n} x^{i} = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}
  • 若0 < |x| < 1,則
 \sum_{i=0}^{\infty} x^{i} = \frac{1}{1-x}
  • \displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]

組合數求和公式[编辑]

  •  \sum_{i=0}^n \binom {n}{i} = 2^n
  •  \sum_{i=0}^n i^m \binom{n}{i}= n(n-1)\cdots(n-m+1) 2^{n-m}
  •  \sum_{i=m}^n \binom {k_1+i}{k_2} = \binom {k_1+n+1}{k_2+1} - \binom {k_1+m}{k_2+1}
  •  \sum_{i=m}^n \binom {k_1+i}{k_2+i} = \binom {k_1+n+1}{k_2+n} - \binom {k_1+m}{k_2+m-1}

定積分判斷總和界限[编辑]

f(x)在[a,b]單調遞增時:

f(a) + \int_a^b f(x) dx \le \sum_{x=a}^{b} f(x) \le f(b) + \int_a^b f(x) dx

f(x)在[a,b]單調遞減時:

f(b) + \int_a^b f(x) dx \le \sum_{x=a}^{b} f(x) \le f(a) + \int_a^b f(x) dx[5]

求和函数[编辑]

\sum_{i=1}^n i^9为例:

syms S n;
S=factor(symsum((n+1)^9))
 In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
 Out[1]:= \frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+3\right)

参考资料[编辑]

  1. ^ 吴炜超. 数列{n^m.k^n}的求和方法. 数学空间. 2011, (7): 第38–39页. 
  2. ^ 马志钢. 倒序求和几例. 中学生数学. 2006, (5). 
  3. ^ 郭子伟. 高中基础数列知识微型整理. 数学空间. 2011, (1): 第11页. 
  4. ^ 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7). 
  5. ^ 吴炜超. 数列不等式的定积分解法. 数学空间. 2011, (5): 第23–26页.