如果c點屬於曼德博集合M則為黑色,反之為白色
曼德博集合(英語:Mandelbrot set,或譯為曼德布洛特複數集合)是一種在複數平面上組成分形的點的集合,以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方,例如使用相同的複二次多項式來進行疊代。
曼德博集合可以用複二次多項式來定義:
![{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fbc1a57893e56b3c2292e9e45f53d9cb6d3172)
其中
是一個複數參數。
從
開始對
進行疊代:
![{\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,n=0,1,2,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b168e67f04742ba60b85c9699da440005774f892)
![{\displaystyle z_{0}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f6f4311c47cbb4b4e5de7b5984f7773f7c34ad)
![{\displaystyle z_{1}=z_{0}^{2}+c=c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20d88092e0662a93b4a7756e96686f9f0a820d0)
![{\displaystyle z_{2}=z_{1}^{2}+c=c^{2}+c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a373a1613c2c37ad7531b28776d1d46c3d7111)
每次疊代的值依序如以下序列所示:
不同的參數
可能使序列的絕對值逐漸發散到無限大,也可能收斂在有限的區域內。
曼德博集合
就是使序列不延伸至無限大的所有複數
的集合。
若
,則
假設
為真
則
當
時
![{\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\leq |c^{2}|+|c|=|c|^{2}+|c|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e915fa2a238c2fb45371cb6e501fad18bbe114)
因為
![{\displaystyle |c|^{2}+|c|\leq {\frac {1}{16}}+{\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e51ac03c1dcce79aa5637c4a3cba6e29d92fb9)
由以上可得知
假設
成立
![{\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\leq |z_{n}|^{2}+|c|<\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11cc83debd9c6cb0a246dd7ae0fb8f919e053c7f)
由上式可得知
由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...),
皆比
小。
當n趨近無限大時
依然沒有發散,所以
,故得證。
若
,則
假設
則
當
時
![{\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\geq |c^{2}|-|c|=|c|^{2}-|c|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad540860fdacc5050bfb6fd38ff998431299d71)
由
,左右同乘
再減去
可得到下式
![{\displaystyle |c|^{2}-|c|>2|c|-|c|=|c|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8b03824ce0c9aeb94a6254a107fb66a335e764)
由以上可得知
假設
成立,則
![{\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6335d7a9ae8ba49c192d1dcfa82039753cd5788e)
因為
![{\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af1dfa506d7ce44a37479452331c827be3190dd)
由
,左右同乘
再減去
可得到下式
![{\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc963951425bebfa786505e79095f49af4057a0)
由以上可得知
由數學歸納法可得知
,可看出隨着疊代次數增加
逐漸遞增並發散。
假如
不發散,則收斂於某個常數
,
由
再取極限得
即
。
又
,矛盾,故
發散。
所以若
,則
,故得證。
若
,則
要證明若
,則
首先分別探討
與
兩種情形
由定理二可知道
且
時,
。
接着要證明
時的情況:
假設
,因為
,所以
,而
![{\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6335d7a9ae8ba49c192d1dcfa82039753cd5788e)
因為
![{\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af1dfa506d7ce44a37479452331c827be3190dd)
由
,左右同乘
再減去
可得到下式
![{\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc963951425bebfa786505e79095f49af4057a0)
由以上可得知
由數學歸納法可得知
,可看出隨着疊代次數增加
逐漸遞增並發散。
所以在
且
的情況下也是
。
綜合上述可得知不論
為多少
若
,則
,故得證。
利用定理三可以在程式計算時快速地判斷
是否會發散。
曼德博集合一般用電腦程式計算。對於大多數的分形軟件,例如Ultra fractal,內部已經有了比較成熟的例子。下面的程序是一段偽代碼,表達了曼德博集合的計算思路。
For Each c in Complex
repeats = 0
z = 0
Do
z = z^2 + c
repeats = repeats + 1
Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三,EscapeRadius可设置为2。
If repeats > MaxRepeats Then
Draw c,Black '如果迭代次数超过MaxRepeats,就将c认定为属于曼德博集合,并设置为黑色。
Else
Draw c,color(z,c,repeats) 'color函数用来决定颜色。
End If
Next
- 直接利用循環終止時的Repeats
- 綜合利用z和Repeats
- Orbit Traps
mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}},
Module[{z = z0, i = 1},
While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
Reverse@Transpose@
Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]
動畫
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