無窮公理

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公理化集合論和使用它的邏輯數學計算機科學中,無窮公理Zermelo-Fraenkel 集合論公理之一。

形式陳述[編輯]

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中,這個公理讀作:

或用非形式化的語言陳述:存在一個集合 N,使得空集N 中,並且只要 xN 的成員,則x 與它的單元素集合 {x} 此兩者的並集也是 N 的成員。這種集合有時也叫做歸納集合。歸納集合是帶有如下性質的集合 X :對於所有 x ∈ X 的後繼 x ' 也是 X 的一個元素

解釋[編輯]

要理解這個公理,首先我們要定義 x 的後繼為 x ∪ {x}。注意配對公理允許我們形成單元素集合 {x}。 後繼是用來定義自然數的常用的集合論編碼。在這種編碼中,0是空集(0 = {}),而 1 是 0 的後繼:

1 = 0 ∪{0} = {} ∪ {0}= {0}

類似地,2 是1 的後繼:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1}

如此類推。這個定義的推論是對於任何自然數n,n等同於由它的所有前驅(predecessor)組成的集合。

我們希望可以形成包含所有自然數的一個集合,但是只使用其他ZF公理的話並不能做到這一點。因此,有必要加入無窮公理以假定這個集合的存在。它是通過類似於數學歸納法的方法完成的:首先假定有一個集合 S 包含零,並接着規定對於 S 的所有元素,這個元素的後繼也在 S 中。

這個集合 S 可以不只是包含自然數,還包含別的元素。但是我們可以應用分類公理模式來除去不想要的元素,留下所有自然數的集合 N。通過外延公理可知這個集合是唯一的。應用分類(分離)公理的結果是:


用非形式化的語言陳述:所有自然數的集合存在;這裏的自然數要麼是零,要麼是一個自然數k的後繼,並且k的每個元素要麼是0要麼是k的另外一個元素的後繼。

所以這個公理的本質是:

有一個集合包含所有的自然數。

無窮公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。

引用[編輯]