對射

一個對射函數

數學中，一個由集合$X$映射至集合$Y$的函數，若對每一在$Y$內的$y$，存在唯一一個在$X$內的$x$與其對應，且對每一在$X$內的$x$，存在唯一一個在$Y$內的$y$與其對應，則此函數為對射函數。

換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，則$f$是對射的。即，同時為單射和滿射。

例如，由整數集合$\mathbb {Z}$至$\mathbb {Z}$的函數$\operatorname {succ}$，其將每一個整數$x$連結至整數$\operatorname {succ} (x)=x+1$，這是一個對射函數；再看一個例子，函數$\operatorname {sumdif}$，其將每一對實數$(x,y)$連結至$\operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)$，這也是個對射函數。

一對射函數亦簡稱為對射（英語：bijection）或置換。後者一般較常使用在$X=Y$時。以由$X$至$Y$的所有對射組成的集合標記為$X\leftrightarrow Y$。

對射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構的定義（以及如同胚和微分同構等相關概念）、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數

一函數$f$為對射的若且唯若其逆關係$f^{-1}$也是個函數。在這情況，$f^{-1}$也會是對射函數。

兩個對射函數$f:X\leftrightarrow Y$及$g:Y\leftrightarrow Z$的複合函數$g\circ f$亦為對射函數。其反函數為$(g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})$。

一個複合所得的對射，左側為單射，右側為滿射。

另一方面，若$g\circ f$為對射的，可知$f$是單射的且$g$是滿射的，但也僅限於此。

一由$X$至$Y$的關係$f$為對射函數若且唯若存在另一由$Y$至$X$的關係$g$，使得$g\circ f$為$X$上的恆等函數，且$f\circ g$為$Y$上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

對射與勢

若$X$和$Y$為有限集合，則其存在一兩集合的對射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這正是「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例

• 對任一集合$X$，其恆等函數為對射函數。
• 函數$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，其形式為$f(x)=2x+1$，是對射的，因為對任一$y$，存在一唯一$x=(y-1)/2$使得$f(x)=y$。
• 指數函數$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，其形式為$g(x)=e^{x}$，不是對射的：因為不存在一$\mathbb {R}$內的$x$使得$g(x)=-1$，故$g$非為對射。但若其對應域改成正實數$\mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )$，則$g$便是對射的了；其反函數為自然對數函數$\ln$。
• 函數$h$ : $\mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )$，其形式為$h(x)=x^{2}$，不是對射的：因為$h(-1)=h(1)=1$，故$h$非為對射。但如果把定義域也改成$[0,+\infty )$，則$h$便是對射的了；其反函數為正平方根函數。
• $\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$不是對射函數，因為$-1,0$和$1$都在其定義域裡且都映射至$0$。
• $\mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$不是對射函數，因為$\pi /3$和2$\pi /3$都在其定義域裡且都映射至${\sqrt {3}}/2$。

性質

• 一由實數$\mathbb {R}$至$\mathbb {R}$的函數$f$是對射的，若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
• 設$X$為一集合，則由$X$至其本身的對射函數，加上其複合函數「$\circ$」的運算，會形成一個群，即為$X$的對稱群，其標記為${\mathfrak {S}}(X)$、${\mathfrak {S}}_{X}$或$X!$。
• 取一定義域的子集$A$及一對應域的子集$B$，則

$|f(A)|=|A|$且$|f^{-1}(B)|=|B|$。

• 若$X$和$Y$為具相同勢的有限集合，且$f:X\to Y$，則下列三種說法是等價的：

1. $f$為一對射函數。
2. $f$為一滿射函數。
3. $f$為一單射函數。

• 一個嚴格的單調函數是對射函數，但對射函數不一定是單調函數（例如$y=x^{-3}$）。

對射與範疇論

形式上，對射函數恰好是集合範疇內的同構。

另見

• 等勢
• 單射
• 同構
• 置換
• 對稱群
• 滿射
• 對射計數法
• 水平線測試

參考文獻

• Wolf. Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 1998. 
• Sundstrom. Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. 2003. 
• Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006. 
• Schumacher. Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 1996. 
• O'Leary. The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 2003. 
• Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House. 
• Maddox. Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 2002. 
• Lay. Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 2001. 
• Gilbert; Vanstone. An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 2005. 
• Fletcher; Patty. Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. 1992. 
• Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan. 
• Devlin, Keith. Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press. 2004. 
• D'Angelo; West. Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall. 2000. 
• Cupillari. The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth. 1989. 
• Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole. 
• Barnier; Feldman. Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall. 2000. 
• Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 1998. 

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Bijection, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃里克·韋斯坦因. Bijection. MathWorld. 
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）