测圆海镜

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知不足斋丛书《测,其中用天地乾坤等指代圆海镜》圆城图式三角形内各点

测圆海镜》是中国金代数学家李冶的代表作,于公元1248年写成。全书一共十二卷,由一百七十个问题组成。书中对勾股容圆的问题进行了探讨,系统地建立了“天元术”(列一元方程的方法)来解决几何问题。《测圆海镜》被认为是中国现存的第一部天元术著作。 天元术是对具体问题列出方程而后求解的方法。天元术于宋金时期开始发展,到元朝达到一个高峰。在《测圆海镜》问世之前,中国虽有以天人代表未知数用以布列方程和多项式的工作,但早期著作已失,仅存被引用的一些片段。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术,用“天元”代替未知数,列出方程,然后求解。

内容[编辑]

《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关系的公式总集识别杂记;卷二至卷十二,共一百七十个问题及其解答所组成。书中一共有148问,182种方法是以天元术列出方程以求解,其中列出一次方程31个,二次方程106个,三次方程24个,四次方程20个,六次方程1个[1]

卷一[编辑]

圆城图式[编辑]

圆城图式(右图)是全书的总括图解,由一个直角三角形(古时称为勾股形)、它的内切圆以及一些特定的直线组成。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代。最大的三角形的三个顶点分别是天地乾三角形的内切圆圆心称为。过的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于三点。过的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于西三点。过的垂直线和过的水平线都是内切圆的切线,它们分别交天地乾三角形于四点,而相交于点。乾坤巽艮构成一个正方形。过的垂直线交东西水平线于点,交地乾边于点。过的水平线交南北垂直线于点,交天乾边于点。而这两条线相交于点。最后过的水平线交天乾边于点,过的垂直线交地乾边于点。总共22个点。

总率名号[编辑]

全书所研究的三角形一共有15个,全部是以天地线之间的线段为弦(斜边)的直角三角形。总率名号给出了这些三角形和线段的名称。它们分别是:

序号 三角形名称 对应的三个顶点 0c 0b 0a
1 天地乾 通弦(天地) 通股(天乾) 通勾(地乾)
2 天西川 边弦(天川) 边股(天西) 边勾(西川)
3 日地北 底弦(日地) 底股(日北) 底勾(地北)
4 黄广 天山金 黄广弦(天山) 黄广股(天金) 黄广勾(山金)
5 黄长 月地泉 黄长弦(月地) 黄长股(月泉) 黄长勾(地泉)
6 上高 天日旦 上高弦(天日) 上高股(天旦) 上高勾(日旦)
7 下高 日山朱 下高弦(日山) 下高股(日朱) 下高勾(山朱)
8 上平 月川青 上平弦(月川) 上平股(月青) 上平勾(川青)
9 下平 川地夕 下平弦(川地) 下平股(川夕) 下平勾(地夕)
10 大差 天月坤 大差弦(天月) 大差股(天坤) 大差勾(月坤)
11 小差 山地艮 小差弦(山地) 小差股(山艮) 小差勾(地艮)
12 皇极 日川心 皇极弦(日川) 皇极股(日心) 皇极勾(川心)
13 太虚 月山泛 太虚弦(月山) 太虚股(月泛) 太虚勾(山泛)
14 日月南 明弦(日月) 明股(日南) 明勾(月南)
15 山川东 叀弦(山川) 叀股(山东) 叀勾(川东)

其中弦是三角形斜边,股是三角形的长直角边(这里是竖直的),勾是三角形短直角边(这里是水平的)。(代表通勾,代表通股,代表通弦,余类推)。

今问正数[编辑]

今问正数一节给出了圆城图式中每个线段的长度。其中以内切圆的半径为120步,作为标准。

  1.  :弦
  2.  :勾
  3.  :股
  4.  :勾股和:a+b
  5.  :勾股校:b-a
  6.  :勾弦和:a+c
  7.  :勾弦校:c-a
  8.  :股弦和:b+c
  9.  :股弦校:c-b
  10.  :弦校和:c+(b-a)
  11.  :弦校校:c-(b-a)
  12.  :弦和和:(a+b)+c
  13.  :弦和校:(a+b)-c

例子:“通弦六百八十,勾三百二十,股六百;勾股和九百二十,较(兩者的差)二百八十;勾弦和一千,较三百六十;股弦和一千二百八十,较八十;弦较和九百六十,较四百;弦和和一千六百,较二百四十。”

15个勾股形中上高 = 下高;上平=下平,因此,15个勾股形中,只有13个勾股形是相异的。

《今问正数》共15个勾股形×13项=195项[2]。 ,列表如下。

今问正数.jpg

识别杂记[编辑]

识别杂记都是关于不同线段之间的几何关系式。一共给出了692个公式。是全书的纲领。

识别杂记包含八项:

  • 诸杂名目:是全书的总纲,列出各项定义,例如虚勾虚股相得名为虚率,高股平勾差名为角差,又名远差等等。诸杂名目中还列出三十余项定理,如凡大差小差相乘为半段径幂,大差勾小差股相乘同上、黄广股黄长勾相乘为经幂等等。
名目[编辑]
名目 定义
内率
外率
虚率
角差
次差
混同和
傍差
夎差
夎和
杂用公式[编辑]

[3]

  1. = *
  2. =
  3. =
  4. =
  5. =
  6. =
  7. =
  8. =
  9. =
  10. = =
五和五较[编辑]
  1. [4]

此外还有诸弦,大小差,诸差,诸率互见,四位拾遗,拾遗。

一共692关系式,这些关系式完全是几何定理,与具体数值无关。

举例:第三条中“勾股和即弦黄和”一句就是:三角形两直角边之和等于斜边加上内切圆直径(“黄”指内切圆直径)。这个命题可以由直角三角形的勾股定理推出:

设直角三角形三边分别为,其中
内接圆直径,因此
内接圆直径 + 斜边 =
= 两直角边之和

后面出现的各问题,都根据这些公式中的相等关系而列出方程,然后求解。

李冶的692个公式中,有8个是错误的,只是因为数值吻合而被误认为成立。

新设第一率[编辑]

新设第一率.jpg

新设第二率[编辑]

新设第二率.jpg

新设第三率[编辑]

新设第三率.jpg

新设第四率[编辑]

新设第四率.jpg

第二卷[编辑]

正率14问
测圆海镜卷二 正率

从第二卷开始,《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题,它们都是围绕着同一个题设背景而展开。 在第二卷开头,李冶作出了以后题目公用的总假设:

假令圆城一所,不知周径,四面开门,门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为乾地,其东北十字道头定为艮地,其东南十字道头定为巽地,其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法,一一设问如后。

这里的圆城就是指天地乾三角形的内切圆,其方向按照圆城图式里面东南西北四个点的位置而定(注意北在下方,东在左边,与现在通用的方位相反),所谓的“乾地”、“坤地”则是指圆城图式里面出现的点、点等等。以后的每个问题中要求的长度都是圆城的半径或直径。

接下来的问题都是已知某些线段的长度,问圆城的半径或直径。李冶在每一题的题目之后都先写出解法(代数演算),再给出演草(代入数值的计算)。

洞渊九容

开头十个问题,不需要天元方程。清代数学李善兰认为,第一个问题和《九章算术》的勾股容圆题目一样,第二问至第十问就是《自序》中提到的“洞渊九容”[5]。但李冶原书或《四库全书》李锐较本都没有这九个问题的细草,李善兰在《天算或问》一书中根据相似三角形原理求得各式,并以第二问为例阐明如下[6]

又因:

所以

其余类推。 。

第一问:或问:甲乙二人俱在乾地,乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙,问径几里?
答曰:城径二百四十步。


勾股容圆

第二问:勾上容圆

第三问:股上容圆

第四问:勾股上容圆

第五问:弦上容圆

第六问:勾外容圆

第七问:股外容圆

第八问:弦外容圆

第九问:勾外容圆半

第十问:股外容圆半

天元术
测圆海镜细草 卷二 第十四问 草曰

从第十四题开始,引入天元术,将所求的未知量设为“天元”,然后根据识别杂记中给出的公式构造出两个天元式,另其相等,然后解方程得出答案。《测圆海镜》中天元式的次序,高次幂在常数项之上,和《益古演段》,《四元玉鉴》的相反。

第十四问

“或问出西门南行四百八十步有树,出北门东行二百步见之。问答同前”。

法曰:以二行步相乘为实,二行步相并为从,一步常法,得半径。
草曰:立天元一为半径,置南行步在地,

内减天元半径得股圆差:

Counting rod v-1.png
Counting rod v-4.pngCounting rod h8.pngCounting rod 0.png

又置乙东行步在地,内减天元,得勾圆差:

Counting rod v-1.png
Counting rod v2.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png

以勾圆差增乘股圆差得半段黄方幂:

Counting rod v1.png
Counting rod h6.pngCounting rod h-8.pngCounting rod 0.png
Counting rod v9.pngCounting rod h6.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png

又置天元幂以倍之,也为半段黄方幂;

Counting rod v2.png
Counting rod 0.png

因此,得

相消得:

Counting rod v-1.png
Counting rod h6.pngCounting rod h-8.pngCounting rod 0.png
Counting rod v9.pngCounting rod h6.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png

解方程,得半径

第三卷[编辑]

边股17问 [7]
标题文字 已知 未知数x 方程
1 < 直接计算
2 d
3 r
4 d
5 d
6 r
7 r
8 r
9 r
10 r
11 r
12
13
14
15 r
16 用洞渊九容公式计算
17 用洞渊九容公式计算

第四卷[编辑]

底勾17问:已知及另一边求直径d.[8]

第三卷边股问与第四卷同次第底勾问成对偶。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
第二边

第五卷[编辑]

大股18问:已知[9]


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
第二边

第六卷[编辑]

大勾18问:

1-11,13-19已知a_{1},及另一边求直径d.[10]
12问:已知 及另边,求直径。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
已知
第二边

第七卷[编辑]

明叀前18问;求直径d。[11]

已知
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

第八卷[编辑]

边股17问:已知 三至八边,或其差,和,求直径d.[12]
已知
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

第十四问[编辑]

或问:高差,平差并一百六十一步,明差叀差并七十七步,问答同前。
即:

草曰:[13]

已知

相加除2 ; 根据#杂用公式,等于皇极差:
设天元一为上平勾:
=
(杂用公式)
因为 (杂用公式)
(圆城直径),
乘下高股
乘之以皇极弦幂:
因此
左右相消得:

解之得 ;
正合#今问正数中的下平勾。

第九卷上[编辑]

:大斜四问[14]

已知
1
2
3
4

第九卷下[编辑]

:大和8问

边股17问:已知三边,求直径d[15]
已知条件
1
2
3
4
5
6
7
8

第十卷[编辑]

:三事和8问[16]

已知
1
2
3
4
5
6
7
8

第十一卷[编辑]

杂糅18问:[17]

第十七问,十八问取自《洞淵算书》。

已知
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17 (取自《洞淵算书》)
18 取自《洞淵算书》

第十二卷[编辑]

之分14问[18]
已知
1 =
2 =
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 ,
14

版本[编辑]

天元术并非李冶的独创,而是从金代起便在中国北方开始萌芽。据祖颐在《四元玉鉴后序》中的记载,李冶以前研究天元术的学者有北宋蒋周撰《益古集》、李文一撰《照胆》,石信道撰《钤经》、刘汝谐撰《如积释锁》等书,世人才知道有天元。此外朱世杰《四元玉鉴》引用北宋《洞渊九容细草》两道题,其中有“立天元一”[19]。后来李德载撰《两仪群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《阴阳备用三元节要》三卷下有天元,地元[20]。但是这些早期天元术的著作已经失传。宋代《杨辉算法》保留蒋周《益古集》的一些条段法的题目,没保留天元术的内容。现存元刻本《阴阳备用三元节要》只有一条二元术题,《测圆海镜》是现存最早的系统地讲述天元术的著作。

到了明代,天元术因为艰深难懂而少人研究,几近失传。明代唐顺抄录过《测圆海镜》,但不懂天元术;顾应祥曾经撰写《测圆海镜分类释术》,但完全没有明白天元术中天元为未知数的含义,因而将《测圆海镜》中关于立天元列方程的演算全部删去,只留下用开方术解方程的过程,以便后人学习[21]。李俨认为宋金元发展起来的天元术至此已被遗忘[22]。《测圆海镜分类释术》一书,虽然删除了天元术内容,但保存了全部算题,也补入正确的几何学解法,使得几近失传的《测圆海镜》,得以从新流传[23]

十八世纪时,随着西洋算学传入中国,李冶等人的天元术著作才被后来的数学家重新发现。戴东原从《永乐大典》中辑录出李冶《测圆海镜》[24];清朝梅瑴成梅文鼎之孙)曾经研读元学士李冶的《测圆海镜》,对其中的天元之术感到不解,后来在研习西方的“借根方”法时发现所谓的“借根”就是“立天元”(都是设未知数),方才重新开始认识天元术[25][26]。之后,《四元玉鉴》等其它天元术著作也被重新认识。孔广森曾校对《测圆海镜》中的四章。乾隆三十八年(1773年),《四库全书》收录了李潢家藏本的《测圆海镜》。1798年,清代大藏书家鲍廷博刊印的《知不足斋丛书》中收录了李锐校勘的《测圆海镜细草》十二卷[27]。之后又有焦循李锐在研究了《测圆海镜》、《益古演段》和《数书九章》后写的《天元一释》和《开方通释》两书,用较为明白的语言详细解释了李冶的天元术和秦九韶的正负开方术。1873年,张楚钟发表《测圆海镜通释》对《识别杂记》中的几百条定理,用几何方法逐条证明。

清代研究[编辑]

1896年刘岳云出版《测圆海镜解》,发现《圆城图式》中各线段的简单加减关系,发表《诸率加减表》,此后李善兰出版《测圆海镜解》等[28]。他在另一篇著作《天算或问》中给出勾股容圆各公式的统一公式。其后陈维祺发表《各率及较泛积表》将《识别杂记》用“泛积”概念统一表示[29]。王季同在《九容公式》中进一步发展了陈维祺的成果,发现[30]

极勾=(高股 * 平勾 +平勾^2)^(1/2)
极股=(高股 * 平勾 +高股^2)^(1/2)
半径=(高股 * 平勾 )^(1/2)

国际研究[编辑]

19世纪初,朝鲜数学家南秉哲著《海镜细草解》。

1913年,法国学者L.van Hoe 介绍《测圆海镜》。1982年,法国林力娜(K. Chemla)作论文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye,获得博士学位。1983年,新加坡大学教授蓝丽蓉发表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,论述《测圆海镜》。

评价[编辑]

清代数学家对《测圆海镜》给予很高评价。阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”,李善兰称赞它是“中华算书,无有胜于此者”。白尚恕说,《测圆海镜》的成就,超过同时期的印度,阿拉伯和欧洲,“处于世界数学里遥遥领先的地位”[31]

参考文献[编辑]

引用[编辑]

  1. ^ 中国古代数学,《测海圆镜》
  2. ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》 《今问正数》 62-66 页 湖北教育出版社. 1995
  3. ^ 李冶 著 白尚恕 译 钟善基 校. 《测圆海镜今译》 24-25页 山东教育出版社. 1985.
  4. ^ 吴文俊主编 《中国数学史料大系》 第六卷 第二章 80页
  5. ^ 李冶《自序》“老大以來,得洞淵九容之說,日夕玩繹,而向之病我者,使爆然落去而無遺餘”
  6. ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》 45-48 页辽宁教育出版社. 1998
  7. ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》75-88页
  8. ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》88-101页
  9. ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》88-101页
  10. ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》88-101页
  11. ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》169-184 湖北教育出版社. 1995
  12. ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》 192-208 湖北教育出版社. 1995
  13. ^ 白尚恕, 562-566页
  14. ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》. 205-208页 湖北教育出版社. 1995
  15. ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》181-195页
  16. ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》220-224页 湖北教育出版社. 1995
  17. ^ 孔国平 著. 《测圆海镜今导读》234-248页 湖北教育出版社. 1995
  18. ^ 孔国平 著. 《测圆海镜今导读》255-263 湖北教育出版社. 1995
  19. ^ 孔国平著 《测圆海镜导读·引论》 6页 ISBN 7-5351-1972-7
  20. ^ 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷10,李俨《中国数学的历史发展》 474页 辽宁教育出版社. 1998
  21. ^ 顾应祥,《测圆海镜分类释术》序:“每章去其細草,立一算術,……各以類分之,語義稍繁者,略加芟損,名曰《測圓海鏡分類釋術》。非敢僭改前賢著述,惟以便下學云爾”
  22. ^ 李俨,《中国算学史》,第七章第四 近世期(四)顾应祥
  23. ^ 孔国平,《测圆海镜导读序》
  24. ^ 梁启超饮冰室合集》 第十卷 343页 《中国近三百年学术史》 中华书局
  25. ^ 柯劭忞等,《清史稿·列传二百九十三》畴人一:“明代算家,不解立天元术,瑴成谓立天元一即西法之借根方,其说曰;“尝读授时历草求弦矢之法,先立天元一为矢,而元学士李冶所著测圜海镜,亦用天元一立算。传写鲁鱼,算式讹舛,殊不易读。明唐荆川、顾箬溪两公互相推重,自谓得此中三昧。荆川之说曰:‘艺士著书,往往以秘其机为奇,所谓天元一云尔,如积求之云尔,漫不省其为何语。’而箬溪则言:‘细考测圜海镜,如求城径,即以二百四十为天元,半径即以一百二十为天元,即知其数,何用算为?似不必立可也。’二公之言如此,余于顾说颇不谓然,而无以解也。后供奉内廷,蒙圣祖仁皇帝授以借根之法,且谕曰:‘西人名此书为阿尔热八达,译言东来法也。’敬受而读之,其法神妙,诚算法之指南,而窃疑天元一之术颇与相似。复取授时历草观之,乃焕然冰释,殆名异而实同,非徒似之而已。”
  26. ^ 阮元,《畴人传》卷二十四,李冶传
  27. ^ 李冶,《测圆海镜细草》,知不足斋刻本
  28. ^ 李善蘭,《測圓海鏡解》,抄本,存中國科學院自然科學史研究所
  29. ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》24-30 湖北教育出版社. 1995
  30. ^ 孔国平著. 《测圆海镜今导读》 30页 湖北教育出版社. 1995
  31. ^ 李冶 著 白尚恕 译 钟善基 校. 《测圆海镜今译》 1页 山东教育出版社. 1985

来源[编辑]

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维基文库中相关的原始文献:
  • 李人言. 《中國算學史》. 台灣商務印書館. 1965. 
  • 孔国平. 《李冶朱世杰与金元数学》. 河北科学技术出版社. 2000. ISBN 978-7-537-51884-0. 

参见[编辑]