測圓海鏡
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/%E5%9C%86%E5%9F%8E%E5%9B%BE%E5%BC%8F.jpg/400px-%E5%9C%86%E5%9F%8E%E5%9B%BE%E5%BC%8F.jpg)
《測圓海鏡》是中國金代數學家李冶的代表作,於公元1248年寫成。全書一共十二卷,由一百七十個問題組成。書中對勾股容圓的問題進行了探討,系統地建立了「天元術」(列一元方程的方法)來解決幾何問題。《測圓海鏡》被認為是中國現存的第一部天元術著作。 天元術是對具體問題列出方程而後求解的方法。天元術於宋金時期開始發展,到元朝達到一個高峰。在《測圓海鏡》問世之前,中國雖有以天人代表未知數用以布列方程和多項式的工作,但早期著作已失,僅存被引用的一些片段。李冶在《測圓海鏡》中系統而概括地總結了天元術,用「天元」代替未知數,列出方程,然後求解。
內容
[編輯]《測圓海鏡》由卷一的圓城圖式、說明各個長度名稱的總率名號、給出各個長度數值的今問正數、囊括了各個量之間關係的公式總集識別雜記;卷二至卷十二,共一百七十個問題及其解答所組成。書中一共有148問,182種方法是以天元術列出方程以求解,其中列出一次方程31個,二次方程106個,三次方程24個,四次方程20個,六次方程1個[1]
卷一
[編輯]圓城圖式
[編輯]圓城圖式(右圖)是全書的總括圖解,由一個直角三角形(古時稱為勾股形)、它的內切圓以及一些特定的點和直線組成。其中的頂點、圓心和交點都用某個漢字來指代。最大的三角形的三個頂點分別是天、地、乾,天地乾三角形的內切圓圓心稱為心。過心的垂直線從上至下分別和三角形、內切圓交於日、南、北三點。過心的水平線從左至右分別和三角形、內切圓交於川、東、西三點。過東的垂直線和過南的水平線都是內切圓的切線,它們分別交天地乾三角形於艮、坤、山、月四點,而相交於巽點。乾坤巽艮構成一個正方形。過月的垂直線交東西水平線於青點,交地乾邊於泉點。過山的水平線交南北垂直線於朱點,交天乾邊於金點。而這兩條線相交於泛點。最後過日的水平線交天乾邊於旦點,過川的垂直線交地乾邊於夕點。總共22個點。
總率名號
[編輯]全書所研究的三角形一共有15個,全部是以天地線之間的線段為弦(斜邊)的直角三角形。總率名號給出了這些三角形和線段的名稱。它們分別是:
序號 | 三角形名稱 | 對應的三個頂點 | 弦 | c股 | b勾 | a
---|---|---|---|---|---|
1 | 通 | 天地乾 | 通弦(天地) | 通股(天乾) | 通勾(地乾) |
2 | 邊 | 天西川 | 邊弦(天川) | 邊股(天西) | 邊勾(西川) |
3 | 底 | 日地北 | 底弦(日地) | 底股(日北) | 底勾(地北) |
4 | 黃廣 | 天山金 | 黃廣弦(天山) | 黃廣股(天金) | 黃廣勾(山金) |
5 | 黃長 | 月地泉 | 黃長弦(月地) | 黃長股(月泉) | 黃長勾(地泉) |
6 | 上高 | 天日旦 | 上高弦(天日) | 上高股(天旦) | 上高勾(日旦) |
7 | 下高 | 日山朱 | 下高弦(日山) | 下高股(日朱) | 下高勾(山朱) |
8 | 上平 | 月川青 | 上平弦(月川) | 上平股(月青) | 上平勾(川青) |
9 | 下平 | 川地夕 | 下平弦(川地) | 下平股(川夕) | 下平勾(地夕) |
10 | 大差 | 天月坤 | 大差弦(天月) | 大差股(天坤) | 大差勾(月坤) |
11 | 小差 | 山地艮 | 小差弦(山地) | 小差股(山艮) | 小差勾(地艮) |
12 | 皇極 | 日川心 | 皇極弦(日川) | 皇極股(日心) | 皇極勾(川心) |
13 | 太虛 | 月山泛 | 太虛弦(月山) | 太虛股(月泛) | 太虛勾(山泛) |
14 | 明 | 日月南 | 明弦(日月) | 明股(日南) | 明勾(月南) |
15 | 叀 | 山川東 | 叀弦(山川) | 叀股(山東) | 叀勾(川東) |
其中弦是三角形斜邊,股是三角形的長直角邊(這裡是豎直的),勾是三角形短直角邊(這裡是水平的)。(代表通勾,代表通股,代表通弦,余類推)。
今問正數
[編輯]今問正數一節給出了圓城圖式中每個線段的長度。其中以內切圓的半徑為120步,作為標準。
- 弦
- 勾
- 股
- 勾股和:a + b
- 勾股校:b - a
- 勾弦和:a + c
- 勾弦校:c - a
- 股弦和:b + c
- 股弦校:c - b
- 弦校和:c + (b - a)
- 弦校校:c - (b - a)
- 弦和和:(a + b) + c
- 弦和校:(a + b) - c
例子:「通弦六百八十,勾三百二十,股六百;勾股和九百二十,較(兩者的差)二百八十;勾弦和一千,較三百六十;股弦和一千二百八十,較八十;弦較和九百六十,較四百;弦和和一千六百,較二百四十。」
15個勾股形中上高 = 下高;上平 = 下平,因此,15個勾股形中,只有13個勾股形是相異的。
《今問正數》共15個勾股形×13項=195項[2]。 ,列表如下。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/%E4%BB%8A%E9%97%AE%E6%AD%A3%E6%95%B0.jpg/800px-%E4%BB%8A%E9%97%AE%E6%AD%A3%E6%95%B0.jpg)
識別雜記
[編輯]識別雜記都是關於不同線段之間的幾何關係式。一共給出了692個公式。是全書的綱領。
識別雜記包含八項:
- 諸雜名目:是全書的總綱,列出各項定義,例如虛勾虛股相得名為虛率,高股平勾差名為角差,又名遠差等等。諸雜名目中還列出三十餘項定理,如凡大差小差相乘為半段徑冪,大差勾小差股相乘同上、黃廣股黃長勾相乘為經冪等等。
名目
[編輯]名目 | 定義 |
---|---|
內率 | |
外率 | |
虛率 | |
角差 | |
次差 | |
混同和 | |
傍差 | |
夎差 | |
夎和 |
雜用公式
[編輯]- = *
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- = =
五和五較
[編輯]此外還有諸弦,大小差,諸差,諸率互見,四位拾遺,拾遺。
一共692關係式,這些關係式完全是幾何定理,與具體數值無關。
舉例:第三條中「勾股和即弦黃和」一句就是:三角形兩直角邊之和等於斜邊加上內切圓直徑(「黃」指內切圓直徑)。這個命題可以由直角三角形的勾股定理推出:
- 設直角三角形三邊分別為、、,其中
- 內接圓直徑,因此
- 內接圓直徑 + 斜邊 =
- = 兩直角邊之和
後面出現的各問題,都根據這些公式中的相等關係而列出方程,然後求解。
李冶的692個公式中,有8個是錯誤的,只是因為數值吻合而被誤認為成立。
新設第一率
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/%E6%96%B0%E8%AE%BE%E7%AC%AC%E4%B8%80%E7%8E%87.jpg/700px-%E6%96%B0%E8%AE%BE%E7%AC%AC%E4%B8%80%E7%8E%87.jpg)
新設第二率
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/%E6%96%B0%E8%AE%BE%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E7%8E%87.jpg/700px-%E6%96%B0%E8%AE%BE%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E7%8E%87.jpg)
新設第三率
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/%E6%96%B0%E8%AE%BE%E7%AC%AC%E4%B8%89%E7%8E%87.jpg/700px-%E6%96%B0%E8%AE%BE%E7%AC%AC%E4%B8%89%E7%8E%87.jpg)
新設第四率
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/%E6%96%B0%E8%AE%BE%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E7%8E%87.jpg/700px-%E6%96%B0%E8%AE%BE%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E7%8E%87.jpg)
第二卷
[編輯]- 正率14問
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/CIYUANHAIJINGXICAO-135-135.jpg/220px-CIYUANHAIJINGXICAO-135-135.jpg)
從第二卷開始,《測圓海鏡》中一共出現了一百七十個問題,它們都是圍繞著同一個題設背景而展開。 在第二卷開頭,李冶作出了以後題目公用的總假設:
假令圓城一所,不知周徑,四面開門,門外縱橫各有十字大道。其西北十字道頭定為乾地,其東北十字道頭定為艮地,其東南十字道頭定為巽地,其西南十字道頭定為坤地。所有測望雜法,一一設問如後。 |
這裡的圓城就是指天地乾三角形的內切圓,其方向按照圓城圖式裡面東南西北四個點的位置而定(注意北在下方,東在左邊,與現在通用的方位相反),所謂的「乾地」、「坤地」則是指圓城圖式裡面出現的乾點、坤點等等。以後的每個問題中要求的長度都是圓城的半徑或直徑。
接下來的問題都是已知某些線段的長度,問圓城的半徑或直徑。李冶在每一題的題目之後都先寫出解法(代數演算),再給出演草(代入數值的計算)。
- 洞淵九容
開頭十個問題,不需要天元方程。清代數學李善蘭認為,第一個問題和《九章算術》的勾股容圓題目一樣,第二問至第十問就是《自序》中提到的「洞淵九容」[5]。但李冶原書或《四庫全書》李銳較本都沒有這九個問題的細草,李善蘭在《天算或問》一書中根據相似三角形原理求得各式,並以第二問為例闡明如下[6]:
又因:
所以
- 得
其餘類推。 。
- 第一問:或問:甲乙二人俱在乾地,乙東行三百二十步而立。甲南行六百步望見乙,問徑幾里?
- 答曰:城徑二百四十步。
勾股容圓
- 第二問:勾上容圓
- 第三問:股上容圓
- 第四問:勾股上容圓
- 第五問:弦上容圓
- 第六問:勾外容圓
- 第七問:股外容圓
- 第八問:弦外容圓
- 第九問:勾外容圓半
- 第十問:股外容圓半
- 天元術
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/CIYUANHAIJINGXICAO-152-152.jpg/300px-CIYUANHAIJINGXICAO-152-152.jpg)
從第十四題開始,引入天元術,將所求的未知量設為「天元」,然後根據識別雜記中給出的公式構造出兩個天元式,另其相等,然後解方程得出答案。《測圓海鏡》中天元式的次序,高次冪在常數項之上,和《益古演段》,《四元玉鑒》的相反。
- 第十四問
「或問出西門南行四百八十步有樹,出北門東行二百步見之。問答同前」。
- 法曰:以二行步相乘為實,二行步相併為從,一步常法,得半徑。
- 草曰:立天元一為半徑,置南行步在地,
內減天元半徑得股圓差:
又置乙東行步在地,內減天元,得勾圓差:
以勾圓差增乘股圓差得半段黃方冪:
又置天元冪以倍之,也為半段黃方冪;
因此,得
相消得:
解方程,得半徑。
第三卷
[編輯]- 邊股17問 [7]
標題文字 | 已知 | 未知數x | 方程 |
---|---|---|---|
1 | <, | 直接計算 | |
2 | , | d | |
3 | , | r | |
4 | , | d | |
5 | , | d | |
6 | , | r | |
7 | , | r | |
8 | , | r | |
9 | , | r | |
10 | , | r | |
11 | , | r | |
12 | , | ||
13 | , | ||
14 | , | ||
15 | , | r | |
16 | , | 用洞淵九容公式計算 | |
17 | , | 用洞淵九容公式計算 |
第四卷
[編輯]- 底勾17問:已知及另一邊求直徑d.[8]
。
第三卷邊股問與第四卷同次第底勾問成對偶。
問 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
第二邊 |
第五卷
[編輯]大股18問:已知。[8]
問 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
第二邊 |
第六卷
[編輯]大勾18問:
- 1-11,13-19已知a_{1},及另一邊求直徑d.[8]
- 12問:已知 及另邊,求直徑。
問 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
已知 | |||||||||||||||||||
第二邊 |
第七卷
[編輯]明叀前18問;求直徑d。[9]
問 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , |
11 | , |
12 | , |
13 | , |
14 | ,, |
15 | , |
16 | , |
17 | , |
18 | , |
第八卷
[編輯]- 邊股17問:已知 三至八邊,或其差,和,求直徑d.[10]
問 | 已知 |
---|---|
1 | ,, |
2 | ,, |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | ,, |
11 | ,, |
12 | , |
13 | ,, |
14 | , |
15 | , |
16 | , |
第十四問
[編輯]- 或問:高差,平差並一百六十一步,明差叀差並七十七步,問答同前。
- 即:
草曰:[11]
已知
- 相加除2 ; 根據#雜用公式,等於皇極差:
- 設天元一為上平勾:
- =
- (雜用公式)
- 因為 (雜用公式)
- (圓城直徑),
- 將 乘下高股
- 乘之以皇極弦冪:
- 因此
- 左右相消得:
- 解之得 ;
- 正合#今問正數中的下平勾。
第九卷上
[編輯]:大斜四問[12]
問 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
第九卷下
[編輯]:大和8問
- 邊股17問:已知三邊,求直徑d[13]。
問 | 已知條件 |
---|---|
1 | ,, |
2 | ,, |
3 | ,, |
4 | ,, |
5 | ,, |
6 | ,, |
7 | ,, |
8 | ,, |
第十卷
[編輯]:三事和8問[14]
問 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
第十一卷
[編輯]- 雜糅18問:[15]
第十七問,十八問取自《洞淵算書》。
問 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , |
11 | , |
12 | , |
13 | ,, |
14 | , |
15 | , |
16 | , |
17 | (取自《洞淵算書》) |
18 | 取自《洞淵算書》 |
第十二卷
[編輯]- 之分14問[16]
問 | 已知 |
---|---|
1 | ,= |
2 | ,= |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | ,, |
7 | ,, |
8 | ,, |
9 | , |
10 | , |
11 | ,, |
12 | ,, |
13 | ,,, |
14 | ,,,, |
版本
[編輯]天元術並非李冶的獨創,而是從金代起便在中國北方開始萌芽。據祖頤在《四元玉鑒後序》中的記載,李冶以前研究天元術的學者有北宋蔣周撰《益古集》、李文一撰《照膽》,石信道撰《鈐經》、劉汝諧撰《如積釋鎖》等書,世人才知道有天元。此外朱世傑《四元玉鑒》引用北宋《洞淵九容細草》兩道題,其中有「立天元一」[17]。後來李德載撰《兩儀群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《陰陽備用三元節要》三卷下有天元,地元[18]。但是這些早期天元術的著作已經失傳。宋代《楊輝算法》保留蔣周《益古集》的一些條段法的題目,沒保留天元術的內容。現存元刻本《陰陽備用三元節要》只有一條二元術題,《測圓海鏡》是現存最早的系統地講述天元術的著作。
到了明代,天元術因為艱深難懂而少人研究,幾近失傳。明代唐順抄錄過《測圓海鏡》,但不懂天元術;顧應祥曾經撰寫《測圓海鏡分類釋術》,但完全沒有明白天元術中天元為未知數的含義,因而將《測圓海鏡》中關於立天元列方程的演算全部刪去,只留下用開方術解方程的過程,以便後人學習[19]。李儼認為宋金元發展起來的天元術至此已被遺忘[20]。《測圓海鏡分類釋術》一書,雖然刪除了天元術內容,但保存了全部算題,也補入正確的幾何學解法,使得幾近失傳的《測圓海鏡》,得以從新流傳[21]。
十八世紀時,隨著西洋算學傳入中國,李冶等人的天元術著作才被後來的數學家重新發現。戴東原從《永樂大典》中輯錄出李冶《測圓海鏡》[22];清朝梅瑴成(梅文鼎之孫)曾經研讀元學士李冶的《測圓海鏡》,對其中的天元之術感到不解,後來在研習西方的「借根方」法時發現所謂的「借根」就是「立天元」(都是設未知數),方才重新開始認識天元術[23][24]。之後,《四元玉鑒》等其它天元術著作也被重新認識。孔廣森曾校對《測圓海鏡》中的四章。乾隆三十八年(1773年),《四庫全書》收錄了李潢家藏本的《測圓海鏡》。1798年,清代大藏書家鮑廷博刊印的《知不足齋叢書》中收錄了李銳校勘的《測圓海鏡細草》十二卷[25]。之後又有焦循和李銳在研究了《測圓海鏡》、《益古演段》和《數書九章》後寫的《天元一釋》和《開方通釋》兩書,用較為明白的語言詳細解釋了李冶的天元術和秦九韶的正負開方術。1873年,張楚鍾發表《測圓海鏡通釋》對《識別雜記》中的幾百條定理,用幾何方法逐條證明。
清代研究
[編輯]1896年劉岳雲出版《測圓海鏡解》,發現《圓城圖式》中各線段的簡單加減關係,發表《諸率加減表》,此後李善蘭出版《測圓海鏡解》等[26]。他在另一篇著作《天算或問》中給出勾股容圓各公式的統一公式。其後陳維祺發表《各率及較泛積表》將《識別雜記》用「泛積」概念統一表示[27]。王季同在《九容公式》中進一步發展了陳維祺的成果,發現[28]
- 極勾=(高股 * 平勾 +平勾^2)^(1/2)
- 極股=(高股 * 平勾 +高股^2)^(1/2)
- 半徑=(高股 * 平勾 )^(1/2)
國際研究
[編輯]19世紀初,朝鮮數學家南秉哲著《海鏡細草解》。
1913年,法國學者L.van Hoe 介紹《測圓海鏡》。1982年,法國林力娜(K. Chemla)作論文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye,獲得博士學位。1983年,新加坡大學教授藍麗蓉發表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,論述《測圓海鏡》。
評價
[編輯]清代數學家對《測圓海鏡》給予很高評價。阮元認為《測圓海鏡》是「中土數學之寶書」,李善蘭稱讚它是「中華算書,無有勝於此者」。白尚恕說,《測圓海鏡》的成就,超過同時期的印度,阿拉伯和歐洲,「處於世界數學裡遙遙領先的地位」[29]
參考文獻
[編輯]引用
[編輯]- ^ 中国古代数学,《测海圆镜》. [2009-10-31]. (原始內容存檔於2020-10-23).
- ^ 孔國平著. 《測圓海鏡今導讀》 《今問正數》 62-66 頁 湖北教育出版社. 1995
- ^ 李冶 著 白尚恕 譯 鍾善基 校. 《測圓海鏡今譯》 24-25頁 山東教育出版社. 1985.
- ^ 吳文俊主編 《中國數學史料大系》 第六卷 第二章 80頁
- ^ 李冶《自序》「老大以來,得洞淵九容之說,日夕玩繹,而向之病我者,使爆然落去而無遺餘」
- ^ 《李儼.錢寶琮科學史全集》卷8,李儼《測圓海鏡研究歷程考》 45-48 頁遼寧教育出版社. 1998
- ^ 《李儼.錢寶琮科學史全集》卷8,李儼《測圓海鏡研究歷程考》75-88頁
- ^ 8.0 8.1 8.2 《李儼.錢寶琮科學史全集》卷8,李儼《測圓海鏡研究歷程考》88-101頁
- ^ 孔國平著. 《測圓海鏡今導讀》169-184 湖北教育出版社. 1995
- ^ 孔國平著. 《測圓海鏡今導讀》 192-208 湖北教育出版社. 1995
- ^ 白尚恕, 562-566頁
- ^ 孔國平著. 《測圓海鏡今導讀》. 205-208頁 湖北教育出版社. 1995
- ^ 《李儼.錢寶琮科學史全集》卷8,李儼《測圓海鏡研究歷程考》181-195頁
- ^ 孔國平著. 《測圓海鏡今導讀》220-224頁 湖北教育出版社. 1995
- ^ 孔國平 著. 《測圓海鏡今導讀》234-248頁 湖北教育出版社. 1995
- ^ 孔國平 著. 《測圓海鏡今導讀》255-263 湖北教育出版社. 1995
- ^ 孔國平著 《測圓海鏡導讀·引論》 6頁 ISBN 7-5351-1972-7
- ^ 《李儼.錢寶琮科學史全集》卷10,李儼《中國數學的歷史發展》 474頁 遼寧教育出版社. 1998
- ^ 顧應祥,《測圓海鏡分類釋術》序:「每章去其細草,立一算術,……各以類分之,語義稍繁者,略加芟損,名曰《測圓海鏡分類釋術》。非敢僭改前賢著述,惟以便下學雲爾」
- ^ 李儼,《中國算學史》,第七章第四 近世期(四)顧應祥
- ^ 孔國平,《測圓海鏡導讀序》
- ^ 梁啓超《飲冰室合集》 第十卷 343頁 《中國近三百年學術史》 中華書局
- ^ 柯劭忞等,《清史稿·列傳二百九十三》疇人一:「明代算家,不解立天元術,瑴成謂立天元一即西法之借根方,其說曰;「嘗讀授時曆草求弦矢之法,先立天元一為矢,而元學士李冶所著測圜海鏡,亦用天元一立算。傳寫魯魚,算式訛舛,殊不易讀。明唐荊川、顧箬溪兩公互相推重,自謂得此中三昧。荊川之說曰:『藝士著書,往往以秘其機為奇,所謂天元一云爾,如積求之云爾,漫不省其為何語。』而箬溪則言:『細考測圜海鏡,如求城徑,即以二百四十為天元,半徑即以一百二十為天元,即知其數,何用算為?似不必立可也。』二公之言如此,余於顧說頗不謂然,而無以解也。後供奉內廷,蒙聖祖仁皇帝授以借根之法,且諭曰:『西人名此書為阿爾熱八達,譯言東來法也。』敬受而讀之,其法神妙,誠算法之指南,而竊疑天元一之術頗與相似。復取授時曆草觀之,乃煥然冰釋,殆名異而實同,非徒似之而已。」
- ^ 阮元,《疇人傳》卷二十四,李冶傳
- ^ 李冶,《測圓海鏡細草》,知不足齋刻本
- ^ 李善蘭,《測圓海鏡解》,抄本,存中國科學院自然科學史研究所
- ^ 孔國平著. 《測圓海鏡今導讀》24-30 湖北教育出版社. 1995
- ^ 孔國平著. 《測圓海鏡今導讀》 30頁 湖北教育出版社. 1995
- ^ 李冶 著 白尚恕 譯 鍾善基 校. 《測圓海鏡今譯》 1頁 山東教育出版社. 1985
來源
[編輯]- 書籍
- 李人言. 《中國算學史》. 台灣商務印書館. 1965年.
- 孔國平. 《李冶朱世杰与金元数学》. 河北科學技術出版社. 2000年. ISBN 978-7-537-51884-0.
參見
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