增乘开平方法

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永乐大典杨辉增乘开方法
贾宪增乘开平方法

增乘开平方法北宋数学家贾宪发明的开方算法,原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚,但他对数学的重要贡献,被南宋数学家杨辉引用,被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四,幸得以保存下来[1]。现存英国剑桥大学图书馆。 杨辉在所著《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图,并说明“杨辉详解开方本源,出《释锁算书》,贾宪用此术”。[2]

术文[编辑]

增乘开平方法,以商数乘下发递增求之。

商第一位。上商得数以乘下发为乘方。命上商除实。上商得数以乘下发入乘方。一退为廉,下法再退。

商第二位。商得数以乘下发为隅。命上商除实讫。以上商乘下法入隅,皆名曰廉。一退,下法再退,以求第三位商数。

商第三位。用法如第二位求之。

算筹十进位制布位[编辑]

  • 算筹的布位。贾宪在纸上用书写方式将算筹码按十进位制布位。七万一千八百二十四分写两行:

下行的步、十、百、千、万分离出来变为算筹的位值标签;上行七一八二四成为十进位制数码。

然后将算筹码依次排在相应的位值标签步、十、百、千、万之下:

Counting rod v7.png Counting rod h1.png Counting rod v8.png Counting rod h2.png Counting rod v4.png

杨辉算草[编辑]

杨辉以七万一千八百二十四为例,列出详细算草。 算草分四行,被除数放在第二行,称为,第一行是商,第四行为下法,第三行是廉。 将算筹Counting rod v7.png放在第四行万字之下。

Counting rod v7.png Counting rod h1.png Counting rod v8.png Counting rod h2.png Counting rod v4.png
icon 下法

第一步先估计第一个商数得2,将icon安置在第一行百位置之上。 将上商2乘下法1,得数2,放在第三行。命上商除实,二二得四,从icon万减去四万得icon万。

Counting rod v2.png
Counting rod v3.png Counting rod h1.png Counting rod v8.png Counting rod h2.png Counting rod v4.png
Counting rod v2.png
icon 下法

求第二个商数:将上商乘下法二一得二,加入廉二,成为icon。 将廉数icon(万)退一位成为icon(千);将下法icon退二位。

作减根变换 ,得

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Counting rod v3.png Counting rod h1.png Counting rod v8.png Counting rod h2.png Counting rod v4.png
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icon 下法

估第二位商数得6,将新商数6乘下法1(百)得6(百)并入廉。

Counting rod v2.png Counting rod h6.png
Counting rod v3.png Counting rod h1.png Counting rod v8.png Counting rod h2.png Counting rod v4.png
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icon 下法

从实除去商6乘廉46

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Counting rod h4.png Counting rod v2.png Counting rod h2.png Counting rod v4.png
Counting rod h4.png Counting rod v6.png
icon 下法

商数6乘下法1,并入廉

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Counting rod h4.png Counting rod v2.png Counting rod h2.png Counting rod v4.png
Counting rod h5.png Counting rod v2.png
icon 下法

廉数退一位,下法退二位,估第三位商得8;商乘下法并入廉

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Counting rod h4.png Counting rod v2.png Counting rod h2.png Counting rod v4.png
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icon 下法

从实除去商乘廉;净除。七万一千八百二十四的平方根是二百六十八。

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Counting rod v5.png Counting rod h2.png Counting rod v8.png
icon 下法

用增乘开平方法可解得

参考文献[编辑]

引用[编辑]

  1. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》第五卷 第二编第一章贾宪 30-40
  2. ^ 吴文俊主编 中国数学史大系第五卷 第六编第一章杨辉 565

来源[编辑]

  • 钱宝琮:《增乘开方法的历史发展》,《李俨钱宝琮科学史全集》卷9 479-488页

参见[编辑]