益古演段

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四库全书知不足斋丛书《益古演段》书影

益古演段》是李冶的一部数学著作。“益古”指蒋周的《益古集》,“演段”指蒋周的算书《益古集》中的条段法。基本上都是已知平面图形的面积,求圆的半径、正方形的边长和周长等等。书中先用天元术建立方程(多数是二次方程),再用条段法旁证。

题目的格式,分四部分:“法曰”、“条段图”、“依条段求之”、“义曰”、和“旧术曰”。

  • 法即天元法,
  • 条段图和条段法是蒋周《益古集》的方法,
  • 义就是文字说明,
  • 旧术是《益古籍》中的方法,
  • 依条段求之指用条段法证明天元术。

四库全书所收知不足斋丛书《益古演段》三卷,一共64问。

卷上[编辑]

益古第八问.jpg

卷上 第一问至第二十二问,全是关于正方形和圆形的问题。

例子:第八问:今有方田一段,内有园池水占之。外有地一十三亩七分半。只云内外方圆周共相和,得三百步。问方圆周各多少?

答曰:外方周二百四十步,内圆周六十步。

法曰:立天元一为圆径,以三之为圆周,以减共步,得

Counting rod v3.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png
Counting rod v-3.png

为方周,以自增乘,得

Counting rod v9.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png
Counting rod h1.pngCounting rod v-8.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png (天元:相当于未知数 x)
Counting rod v9.png

十六段方田积于头,再立天元圆径以自之又十二之,得

Counting rod 0.png
Counting rod 0.png
Counting rod h1.pngCounting rod v2.png

为十六个圆池积以减头位得

Counting rod v9.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png
Counting rod h1.pngCounting rod v-8.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png
Counting rod v-3.png

为十六段如积,寄左然后列真积一十三亩七分半,以亩法通之得五万二千八百步,与左相消得

Counting rod v3.pngCounting rod h7.pngCounting rod v2.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png
Counting rod h1.pngCounting rod v-8.pngCounting rod 0.pngCounting rod 0.png
Counting rod v-3.png

开平方为圆池径,又三之为圆池周。

卷中[编辑]

益古第36问.jpg

第二十三问至第四十二问,共20 问,解长方形和圆形的问题。

例题:第三十六问

今有圆田一段,中有直池水占之,外计地六千步。只云从内池四角斜至四楞各一十七步半。其内池长阔共相和得八十五步。问三事各多少?

答曰外田径一百步,池长六十步,阔二十五步。

法曰 (天元术):立天元一位内池斜角,加二倍池角到圆池的距离为圆的直径

圆直径:

Counting rod h3.pngCounting rod v5.png 太 (常数项)
Counting rod v1.png (天元:相当于未知数 x)

圆直径= x+35


将近似圆周率 3 乘圆直径的平方 得圆面积的四倍= = 3 =

四段圆面积:

Counting rod h3.pngCounting rod v6.pngCounting rod h7.pngCounting rod v5.png 太(常数项)
Counting rod v2.pngCounting rod h1.pngCounting rod 0.png 元(x)
Counting rod v3.png项)

四段圆面积减去四倍土地面积得池面积的四倍=- 4 x 6000 =

四段池积:

Counting rod v2.pngCounting rod 0.pngCounting rod v-3.pngCounting rod h2.pngCounting rod v5.png
Counting rod v2.pngCounting rod h1.pngCounting rod 0.png 元(x)
Counting rod v3.png项)

池长阔之和 85的平方

Counting rod h7.pngCounting rod v2.pngCounting rod h2.pngCounting rod v5.png (7225)

等于 四段池面积加 一段较(水池长与阔之差)幂(平方)

又二段池面积 加一段较幂 等于 长的平方加阔的平方 等于

水池对角线幂(对角线长度的平方):

Counting rod 0.png
Counting rod 0.png 元 (x)
Counting rod v1.png

(四池积 + 较幂) -(二池积+ 较幂) = 二池积 = 7225-

Counting rod h7.pngCounting rod v2.pngCounting rod h2.pngCounting rod v5.png (7225)
Counting rod 0.png
Counting rod v-1.png

二段池积 乘二 = 四段池积:

Counting rod v1.pngCounting rod h4.pngCounting rod v4.pngCounting rod h5.pngCounting rod 0.png
Counting rod 0.png
Counting rod v-2.png

与上四段池积:

Counting rod v2.pngCounting rod 0.pngCounting rod v-3.pngCounting rod h2.pngCounting rod v5.png
Counting rod v2.pngCounting rod h1.pngCounting rod 0.png 元(x)
Counting rod v3.png项)

合并得一元二次方程式 :

Counting rod v3.pngCounting rod h4.pngCounting rod v7.pngCounting rod h7.pngCounting rod v5.png
Counting rod v2.pngCounting rod h1.pngCounting rod 0.png
Counting rod v5.png

解之得池对角线长度为65步

圆直径= 65 + 2 * 17.5 = 65+35=100

较 = 长 - 阔 =35步 长 +阔 =85

由此 池长=60 步 池阔 =25 步

卷下[编辑]

益古演段下54.jpg

第四十三问至第六十四问,共22 问,是关于比较复杂的图形。

第五十四问:今有方田一段,内有直池结角占之;外计地一千一百五十步只云从田角至水两边各一十四步,一十九步;问三事各多少?

答曰:方四十五步,池长三十五步,阔二十五步。


法曰:设天元一为池阔:x

Counting rod 0.png
Counting rod v1.png

池阔加田角到池边距离的2倍 (38步)等于 方田对角线的长度:x+38

Counting rod h3.pngCounting rod v8.png
Counting rod v1.png

取平方得展田(以方田对角线为边的正方形)面积

Counting rod h1.pngCounting rod v4.pngCounting rod h4.pngCounting rod v4.png
Counting rod h7.pngCounting rod v6.png
Counting rod v1.png
又池长-池阔 = 2 (19-14) = 10

池长 = 池阔 +10:x+10

Counting rod h1.pngCounting rod 0.png
Counting rod v1.png

池面积 = 池阔 乘 池长:x(x+10) =

Counting rod 0.png
Counting rod h1.pngCounting rod 0.png
Counting rod v1.png

池面积 乘 1.96 ( 的平方 =1.96) 得

Counting rod h1.pngCounting rod v9.pngCounting rod h6.png
Counting rod v1.png Counting rod h9.pngCounting rod v6.png

展田面积 - 池面积 乘 1.96得地积乘1.96:

-
Counting rod h1.pngCounting rod v4.pngCounting rod h4.pngCounting rod v4.png
Counting rod h5.pngCounting rod v6.pngCounting rod h4.png
Counting rod 0.pngCounting rod h9.pngCounting rod v-6.png

占地 乘 1.96 =1150 * 1.96 =2254=

由此得 =

Counting rod v8.pngCounting rod v-1.pngCounting rod 0.png
Counting rod h5.pngCounting rod v6.pngCounting rod h4.png
Counting rod 0.pngCounting rod h9.pngCounting rod v-6.png

解方程得 池阔 25步 由此得 池长 =池阔 +10 =35步 放田边长 =45 步




李冶在出版《测圆海镜》之后,撰写《益古演段》,将抽象的代数方法(天元术)和直观性强的几何方法(条段法)相结合来阐述问题,图文并茂,便于学习天元术,使此书成为当时受人们欢迎的数学教材。蒋周的《益古集》已失传,《益古演段》成为保留最详尽的条段法资料的文献。

1902年英国伦敦会传教士伟烈亚力在1902年上海出版的《中国典籍扎记》简略地介绍了《益古演段》[1].

1913年法国赫师慎(van Hée)将《益古演段》64问翻译成法文,发表在通报上。[2] 1984年新加坡大学蓝丽蓉马来西亚洪天赐发表英文论文题为《李冶及其益古演段》。

參考文獻[编辑]

引用[编辑]

  1. ^ Alexander Wylie, Notes on Chinese Literature, p117; 1902, Shanghai
  2. ^ van Hée Li Yeh, Mathématicien Chinois du XIIIe siècle, TP,1913,14,537

来源[编辑]