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九章算术

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九章算术
九章算術細草圖說.jpg
全名 九章算術
别名 九章算經
撰者 佚名
成书年代 東漢
注解者 刘徽
李淳風
賈憲
楊輝
李潢
篇数 九篇
卷数 九卷
最初著录 後漢書
版本 嘉定鮑澣之刻本
分类 子部術數類

九章算术》九卷,是現存最早的中國古代数学著作之一,《算经十书》中最重要的一种。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订,而逐渐成为现今定本的。在四庫全書中為子部天文演算法算書類。

《九章算术》內容豐富,題材廣泛,共九章,分為二百四十六題二百零二術,不但是漢代重要的數學著作[1]。在中國和世界數學史上佔有重要的地位。作為中國古代數學的系統總結,對中國傳統數學的發展有了深遠的影響。

歷史[编辑]

根据研究,西汉张苍耿寿昌曾经做过增补和整理,其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期,但是其基本内容在西汉后期已经基本定型。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类,就是“九章”。

1984年,在湖北出土了《算数书》书简。据考证,它比《九章算术》要早一个半世纪以上,书中有些内容和《九章算术》非常相似,一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系[2],但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。

由於《九章算術》中只是列出了例子及一般的算法,卻很少有任何解釋和說明,所以有很多人曾為《九章算術》作注,提出了簡括的證明,證明了些算法的正確性。較為著名的有在三国时期魏元帝景元四年(263年),刘徽为《九章》作注,加上自己心得体会,使其便于了解,可以流传下来[2]唐代李淳风又重新做注(656年),作为《算经十书》之一[2],作为国子监算学馆的教材和明算科的考试项目。

体例[编辑]

《九章算术》共收有246个数学问题,分为九大类,在一个或几个问题之后,列出这个问题的解法。

  1. 方田章:主要是田亩面积的计算和分数的计算,是世界上最早对分数进行系统叙述的著作[2]
  2. 粟米章:主要是粮食交易的计算方法,其中涉及许多比例问题[2]
  3. 衰分章:主要内容为分配比例的算法[2]
  4. 少广章:主要讲开平方开立方的方法[2]
  5. 商功章:主要是土石方和用工量等工程数学问题,以体积的计算为主[2]
  6. 均输章:计算税收等更加复杂的比例问题[2]
  7. 盈不足章:双设法的问题[2][3]
  8. 方程章:主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法,在世界数学史上是第一次出现[2]
  9. 勾股章:勾股定理的应用[2]

內容[编辑]

實數系統[编辑]

《九章算术》對自然數即正整數及其運算沒有給予論述,但卻加以廣泛應用,以自然數的基礎上編寫。雖然不是論述分數的專書,但是對於分數的意義、性質、四則運算論述完備。例如:合分術(加法)、減分術(減法)、乘分術(乘法)、經分術(除法)、課分術(比較大小)、約分術(簡化分數)與平分術(平均數)[4]

《九章算术》出現負數概念,方程章為了配合方程術的算法,給出正負數的加、減法則。減法為「同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之」。加法為「異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之」。其中「除」是減,「益」是加,「無入」是指沒有對方,不過乘除法並未記載[4]

《九章算术》對自然數、分數、正負數以及一些特殊無理無給予一定的論述,基本上具備實數系統的雛形[4]

比例與盈虧算法[编辑]

粟米章所述今有術,即是四項比例算法,按術文「以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一」[4]

今有術在《九章算术》應用非常廣泛,為一種解題的基本算法。另一種常用的算法是衰分章的衰分術,為配分比例算法。其術文為:「各置列衰,副併為法,以所分乘未併者各自為實,實如法而一」[4]

《九章算术》以列衰的倒數為列衰,稱為反衰術。反衰術就是衰分術與反比例相結合的算分。而衰分術與反衰術相結合的算法,就是均輸章的均輸術。《九章算术》不但有正比例算法、而且還有反比例算法、複比例算法、連比例算法以及配分比例算法。這些算法都是以今有術為基礎,發展而匯集起來的各種算法[4]

盈不足術是中國古代一種解算術難題的算法。一般算術應用題,都有確切答案。盈不足術為了推算答案,預先設立一個數字作為答案,依題目核算,若結果合問題,所設之數就是答案;若不合問,非盈即不足;通過兩次假設,即可利用盈不足術求出答案。這類問題共有五種,即一盈一不足,兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足。《九章算术》則匯集這五種問題,並給出算法[4]

盈不足章除了擁有算術應用問題外,還包括一些初等超越方程問題,用這種模式算法解出前一類問題得到確切解,用以解後一類問題則得近似解[4]

求積與勾股[编辑]

《九章算术》論述的幾何圖形,多為直線型和圓型的圖形,根據算田畝的需要,《九章算术》論述方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田及宛圓的面積算法。另外由於土木建築的需要,《九章算术》還有論述直線型立體和圓型立體圖形的體積算法,這些體積算法的編排,由簡單到複雜,形成獨特的理論體系[4]

勾股計算,《九章算术》分為四類問題。有勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似[4]

勾股互求,即是已知勾股的一般線線,推求其他線段。勾股整數,即是《九章算术》給出推求勾、股、弦,都是整數的算法。勾股兩容,為推求勾股形內接正方形及內切圓的算法。勾股相似,為利用相似勾股形性質,進行簡單測遠、測高的算法[4]

《九章算术》對幾何問題的處理,分為三部分,有體積算法、面積算法、線段算法,分別隸屬於商功、方田、勾股三章[4]

開方與方程[编辑]

《九章算术》列出的平方術、開立方術以及線性方程組的解法,可以看作中國古代代數學的主要內容。《九章算术》記載的這些算法非常詳盡,經由這些論述,可以了解中國古代代數學發展的成果[4]

開平方術、開立方術,不但可以解出二項二次方程、二項三次方程,而且可以解出一般的二次數值方程和三次數值方程。它是中國古代解出高次數值方程的基礎,在數學的發展也有重要地位[4]

方程章所論「方程」,地位相當於今天線性方程組。所論「方程術」,為所謂「直除法」。「直除」是連續相減的意思或累減的意思,「直除法」為連續相減消元法,在理論上、算法上與今天加減消元完全一樣[4]

在方程章所列十八題中,有的相當於二元一次方程組,有的相當於三元一次方程組,也有的相當於五元一次方程組。其中第十三題為:「今有五家共井,甲二綆不足,如乙一綆;乙三綆不足,如丙一綆;丙四綆不足,如丁一綆;丁五綆不足,如戊一綆;戊六綆不足,如甲一綆。如各得所不足一綆,皆逮。問井深,綆長各幾何」。所問是六個未知數之值,依題意只能列出五個一次方程,可見這是世界上最早的一次不定方程組[4]

影響[编辑]

九章算術影宋本

《九章算术》总结了自先秦以来的中国古代数学,它既包含了以前已经解决了的数学问题,又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为,它在数学史上,标志着中国古代数学体系的形成,是中国古代数学体系的初期代表作[4]

《九章算术》問世之前的中國先秦典籍中,記錄了不少數學知識,但是卻沒有《九章算术》的系統論述,尤其是由易到難、由淺入深、從簡單到複雜的編排體例,從而形成中國傳統數學的理論體系。因而後世的中國數學家,都是從此開始學習和研究,唐、宋時,為國家明令規定的教科書,北宋時由政府刊刻,又是世界上最早的印刷本數學書[5]

《九章算术》中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如,关于比例算法的问题,它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题,在阿拉伯曾称为契丹算法,13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的,这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。

《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响,这种影响一直持续到了清朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主,先给出若干例题,再给出解法,不同于西方以演绎为主的叙述方式,中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书,其中以刘徽李淳风的注释最有名。

《九章算术》隋、唐時,流传到了日本朝鲜,对其古代的数学发展也产生了很大的影响,之後更遠傳到印度、阿拉伯和歐洲,現已譯成日、俄、英、法和德等多種文字版本[5]

译本[编辑]

  • 俄译本:«Математика в девяти книгах» / Перевод и примечания Э. И. Березкиной // Историко-математические исследования. 1957.
  • 德译本:Chiu Chang Suan Shu, Neun Bucher Arithmetischer Technik, Ubersetzt von K.Vogel, F.Verlag 1968
  • 英译本:The Nine Chapters on the Mathematical Art, Companion and Commentary Translated and edited by Shen Kangshen(沈康生), John Crossley and Anthony Lun ISBN 978-0-19-853936-0, Oxford University Press
  • 法译本:Chemla, Karine, and Shuchun Guo. . Les neuf chapitres: le classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires. 2004 Paris: Dunod.
  • 日译本: 川原秀城译注 九章算术 朝日出版社 1980

註腳[编辑]

  1. ^ 王子今. 第五篇〈天文歷算之學〉. 《秦漢史—帝國的建立》. 2009: 346-348. 
  2. ^ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 胡世慶. 第二十六章第一節〈數學〉. 《中國文化通史》. 2009: 822-831. 
  3. ^ HPM通訊第七卷第一期,台師大數學系碩士班研究生 張復凱
  4. ^ 4.00 4.01 4.02 4.03 4.04 4.05 4.06 4.07 4.08 4.09 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 地球社編輯部. 第七章第一節〈數學〉. 《中國文明史 第三卷 秦漢時代 中冊》. 1992: 515-531. 
  5. ^ 5.0 5.1 龔書鐸. 第五十一章延伸知識〈《九章算術》總結先秦數學〉. 《圖說秦漢》. 2009: 177. 

參考文獻[编辑]

外部链接[编辑]

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