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珠算

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珠算,指的是用算盘进行计算,一般特指用中式算盘进行计算。珠算领域对四则运算统整出了一套系统的计算规则,统称珠算法则。其源于中国筹算,在东汉徐岳所著《数术记遗》记载上古十四种算法,珠算为其一。不过,当时尚无现在的算盘,是把算珠放于以凹槽为档的板上作为算盘。

2013年,联合国教科文组织将其列入人类非物质文化遗产代表作名录[1]

术语

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珠算已发展成一系统,亦衍生出许多相关术语,为便于说明,参考国珠联的《珠算统一用语表》略简述之:

  • 算盘术语
    • 上珠
    • 下珠
  • 运珠相关
  • 算术术语
    • 加算:即加法计算。
      • 被加数: a
      • 加数: b
      • 和: 的 c
    • 减算:即减法计算
      • 被减数: a
      • 减数: b
      • 差: 的 c
    • 乘算:即乘法计算
      • 实、被乘数: a
      • 法、乘数: b
      • 积: 的 c
    • 除算:即除法计算
      • 实、被除数: a
      • 法、除数: b
      • 商: 的 c
      • 余: 的 d

运珠

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有两种方式[2]

  1. 双手拨珠,以中国为主,另有俄罗斯、哈萨克、南非、乌兹别克、土耳其、摩洛哥及中东的伊朗、沙特阿拉伯、阿联酋、约旦、黎巴嫩等。
  2. 单手运珠,以台湾、日本、韩国为主,另有马来西亚、新加坡、泰国、香港、美国、加拿大、巴西、澳洲等。
二五珠算盘

一般只用拇指食指中指拨珠(亦有极少数非常熟练的人五指全用),三个手指的基本分工是:

  • 拇指拨下珠向上靠梁。
  • 食指拨下珠向下离梁。
  • 中指拨上珠靠梁和离梁。
一四珠算盘

(或一五珠算盘):两个手指的基本分工是:

  • 食指拨上珠向下靠梁。
  • 食指拨上珠向上离梁。
  • 拇指拨下珠向上靠梁。
  • 食指拨下珠向下离梁。
一五珠算盘

两个手指的基本分工是:

  • 食指拨上珠向下靠梁。
  • 食指拨上珠向上离梁。应该是拇指
  • 拇指拨下珠向上靠梁。
  • 食指拨下珠向下离梁。


算法

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布数

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布数是指表现数字的算珠摆放方式。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

加算

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方法为同位值相加,逢十进一,计算时由又高位档向低位档依次相加。

(例)1937+284

置数

百位档相加
十位档相加
个位档相加
口诀

可辅助学习,熟练后亦可不用。

加数 不进位加 进位加
直加 满五加 进十加 破五进十加
一上一 一下五去四 一去九进一  
二上二 二下五去三 二去八进一  
三上三 三下五去二 三去七进一  
四上四 四下五去一 四去六进一  
五上五   五去五进一  
六上六   六去四进一 六上一去五进一
七上七   七去三进一 七上二去五进一
八上八   八去二进一 八上三去五进一
九上九   九去一进一 九上四去五进一

以 +3 为例:

  • “三上三”是指“(若下珠够加)直接上拨三颗”(=+3)。
  • “三下五去二”是指“(若下珠不够加,且没有上珠),则拨下一颗上珠,去掉两伙下珠”(=+5-2)。
  • “三去七进一”是指“(若下珠不够加,且有上珠),则去掉七,再高一位进一”(=+10-7)。

其中,“三下五去二”亦是成语中“三下五除二”的由来。

减算

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方法为同位值相减,不够借位,计算时由高位档向低位档依次相减。

(例)2756-957

置数

百位档相减
十位档相减
个位档相减
口诀

可辅助学习,熟练后亦可不用。

减数 不退位减 退位减
直减 破五减 退位减 退十补五减
一去一 一上四去五 一退一还九  
二去二 二上三去五 二退一还八  
三去三 三上二去五 三退一还七  
四去四 四上一去五 四退一还六  
五去五   五退一还五  
六去六   六退一还四 六退一还五去一
七去七   七退一还三 七退一还五去二
八去八   八退一还二 八退一还五去三
九去九   九退一还一 九退一还五去四

以 -3 为例:

“三去三”是指“(若下珠够减)直接拨去三颗”(=-3)。 “三上二去五”是指“(若下珠不够减,且有上珠),则拨去上珠,并加上二颗下珠”(=-5+2)。 “三退一还七”是指“(若下珠不够减,且没有上珠),则更高一位减一,并加上七”(=-10+7)。

负数

遇到小数减大数时,可以用到一种技巧叫作悬珠来代表负数。悬珠是指将算珠移到不靠梁,也不靠框。其观念同计算机中的二补数

乘算

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基本原则就是,将乘数分解为每分数,分别乘上被乘数后相加。如:要计算 32×97

更进一步分解,

计算时,不用考虑位值,则只需计算一位×一位,如:30×90 ,只需计算 3×9 ,再加至百位即可。如此,可以先将每个一位×一位的结果先计算出来,此即为乘法口诀——九九歌

而使用珠算计算时,因为数字都在盘面上,所以要考虑是否要将实(被乘数)、法(乘数)放置盘面上,放的位置(因计算结果会愈来愈长,可能会与原本被乘数、乘数放置的地方重叠而影响)、计算顺序、如何定位等。而根据计算方法,主要有两大类:

  • 看头乘法被乘数、乘数放置盘面上
    • 看头乘法,又称见乘法乘法速算法
  • 破头乘法被乘数、乘数不放置盘面上
    • 破头乘法,又称头乘法
    • 破头乘法别法,又称新头乘法,或称隔位乘法

此外,另有一种技巧 凑倍乘法[3],古称金蝉脱壳,又称迭皮乘、加减乘法、变积乘法、倍数乘法、加乘法。可将乘法转为加减算,从而不需要九九乘法。

其基本想法为:“因为将每个乘数分解成多个一位数,最多只有 9 种可能(0 不用计算)”,而这 9 种可能,都可以改为“×1×2×5的某种组合”如:被乘数×8 相当于 被乘数x(10-2)。而“×1×2×5”这三种运算是容易心算的。

看头乘法
破头乘法
新头乘法

(例)32×97

32 算“2”字 2×90 +2×7
算“3”字 +30×90 +30×7 =3104
凑倍乘法

除算

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方法跟长除法类似,即逐位(由高位向低位)来决定适合的商。计算方式主要分两步骤估商(或试商)和减积

计算方法有:商除法、归除法、凑倍除法。

商除法

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约率为例。为简单起见,先以两个算盘(一个记录商,一个记录余)说明之。

(例)

  • 第一位
置数

估商
估为
减积

()

()

()

()

()

()
  • 第二位


估商
估为
减积

()

()

()

()

()

()
  • 第三位


估商
估为
减积

()

()

()

()

()

()

得到


而实际在计算时,会使用一个算盘同时放置商数和余数,就是分区放。要如何有效利用有限的档位,又不影响计算,其规律就是够除,隔位置商;不够除,挨位置商

密率为例,说明完整的商除法。


为例

  • 第一位
置数

估商
估为 。够除,隔位置商。
减积
"
"
"
  • 第二位
前次结果

估商
估为 。够除,隔位置商。
减积
"
"
"
  • 第三位
前次结果

估商
估为 。够除,隔位置商。
减积
"
"
"
  • 第四位
前次结果

估商
估为 。够除,隔位置商。
减积
"
"
"
  • 第五位
前次结果

估商
估为 。够除,隔位置商。
减积
"
"
"


  • 第六位。注意,这位是不够除,挨位置商
前次结果

估商
估为 不够除,挨位置商
减积
"
"
"
  • 第七位。
前次结果

估商
估为 。够除,隔位置商。
减积
"
"
"

修正商

计算过程中,若发现所估的商过大,则要退商;若估商太小,则要补商

归除法

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其基本想法是,将一些可能的除算先计算出结果,并将商与除数化作口诀,来加速计算除法。

除数为一位的称为单归法,除数为多位的,则为归除法

九归诀
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目前可知最早的记载为朱世杰所撰《算学启蒙》卷上《归除歌诀》:“ 一归如一进、见一进成十;
二一添作五、逢二进成十、四进二十、六进三十、八进四十;
三一三十一、三二六十二、逢三进成十、六进二十、九进三十;
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四进成十、八进二十;
五归添一倍、逢五进成十;
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六进成十;
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七进成十;
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八进成十;
九归随身下、逢九进成十

整个歌诀的作用为,“罗列所有被除数及除数的首数的可能,得出商数和余数”。
三一三十一为例,第一个数字为三,是除数的首数为三,第二个数字为一,是被除数首数为一,数字虽为 1,但计算的是 。 而三十一意指商为 3 ,余为 1。同样的,三二六十二是指逢三进成十是指
有些语句是用下加几来表示,是指商数不变(与被除数首数相同),余数则为那个几。以七二下加六为例,五归添一倍是指“用 5 去除一个数,相当于此数加倍”(如:

其中,部分口诀,也成了成语。如二一添作五意味两者平分三一三十一意味三者平分

其他版本

也有几种不同的版本,如简化版:“
一归如一进,见一进成十;
二一添作五,逢二进成十;
三一三十一,三二六十二,逢三进成十;
四一二十二,四二添作五,四三七十二,逢四进成十;
五归添一倍,逢五进成十;
六一下加四,六二三十二,六三添作五,六四六十四,六五八十二,逢六进成十;
七一下加三,七二下加六,七三四十二,七四五十五,七五七十一,七六八十四,逢七进成十;
八一下加二,八二下加四,八三下加六,八四添作五,八五六十二,八六七十四,八七八十六,逢八进成十;
九归随身下,逢九进成十。

或者,改为更易理解的语句,如将“三一三十一”改为“三一三一”,“逢三进成十”改为“逢三进一”。如:“
一归:逢一进一,逢二进二,逢三进三,逢四进四,逢五进五,逢六进六,逢七进七,逢八进八,逢九进九。
二归:逢二进一,逢四进二,逢六进三,逢八进四,二一添作五。
三归:逢三进一,逢六进二,逢九进三,三一三余一,三二六余二。
四归:逢四进一,逢八进二,四二添作五,四一二余二,四三七余二。
五归:逢五进一,五一倍作二,五二倍作四,五三倍作六,五四倍作八。
六归:逢六进一,逢十二进二,六三添作五,六一下加四,六二三余二,六四六余四,六五八余二。
七归:逢七进一,逢十四进二,七一下加三,七二下加六,七三四余二,七四五余五,七五七余一,七六八余四。
八归:逢八进一,八四添作五,八一下加二,八二下加四,八三下加六,八五六余二,八六七余四,八七八余六。
九归:逢九进一,九一下加一,九二下加二,九三下加三,九四下加四,九五下加五,九六下加六,九七下加七,九八下加八。

单归法(除数为一位)
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约率为例。

(例)

七归
置数 七二下加六

商设为

下一档

逢七进一

本档

七一下加三

商设为

下一档

七三四余二

商设为

下一档

" " " " "

归除法(除数为多位)
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跟单归法类似,也是借助九归歌。可以理解成使用九归歌来估商。

为例,可以先用 300 来估商,因此使用口诀中的三归口诀。口诀已完成了 300 的减积(如“三一三余一”中,余一的部分已加入下一档)。但 21 的部分仍未减积。因此归除法区分两个观念:除数的首数称为,除数的首数以外的数称为。除数为 321 的话,称作3归21除,意味着用 3归求商及其减积,再以 21 来完成乘下的减积

减积后,有可能发现的估商需要调整。若过小,需要增商,这部分口诀中已包含“逢 n 进为十”;若过大,则需退商,则有退商口诀

  • 一归:无除起一下还一
  • 二归:无除起一下还二
  • 三归:无除起一下还三
  • 四归:无除起一下还四
  • 五归:无除起一下还五
  • 六归:无除起一下还六
  • 七归:无除起一下还七
  • 八归:无除起一下还八
  • 九归:无除起一下还九

这口诀有明显规律:“无除起(也有作“退”)一下还 n”,无需特别记忆。


另外,也有可能发现在某些情况(即除数、被除数差不多大,却又不够除时)下,无法估商,则使用撞归口诀

  • 一归:见一无除撞九一
  • 二归:见二无除撞九二
  • 三归:见三无除撞九三
  • 四归:见四无除撞九四
  • 五归:见五无除撞九五
  • 六归:见六无除撞九六
  • 七归:见七无除撞九七
  • 八归:见八无除撞九八
  • 九归:见九无除撞九九

这口诀也有明显规律:“见 n 无除撞(也有作“作”)九 n”,无需特别记忆。它的意思是,在“除数、被除数的首数同为 n,却又不够除,直接估商为 9,下一档要 +n”时。当首数相同,却又无法进 1 (代表 10),则估商就从 9 开始。减积后,需要在下一档 +n 。


密率为例,因为除数为 ,故称之为“一归十三除”,相关口诀如下:

  • 九归口诀:逢一进一,逢二进二,逢三进三,逢四进四,逢五进五,逢六进六,逢七进七,逢八进八,逢九进九。
  • 退商口诀:无除起一下还一。
  • 撞归口诀:见一无除撞九一。

(例)

  • 第一位
一归十三除
置数 逢三进三

商为

以十三除减积

" " "
  • 第二位
一归十三除
前次结果 逢一进一

商为

以十三除减积

" " "
  • 第三位
一归十三除
前次结果 逢四进四

商为

以十三除减积

" " "
  • 第四位
一归十三除
前次结果 逢一进一

商为

以十三除减积

" " "
  • 第五位
一归十三除
前次结果 逢六进六

商为

以十三除减积

加回减积 退商

无除起一下还一 商,下一档

以十三除减积

" " " " " "
  • 第六位
一归十三除
前次结果 见一无除撞九一

商为 ,下一档

以十三除减积

" " "
  • 第七位
一归十三除
前次结果 逢三进三

商为

以十三除减积

加回减积 退商

无除起一下还一

,下一档

以十三除减积

" " " " " "


凑倍除法

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或称累减除法大扒皮,首见于《九章详注比类算法大全》,是一种不用九九乘法而用累减的计算方式。

开平方

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开平方必须至少三副都是至少十三档算盘, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅

验算

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还原验算法

一、交换律

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:加數+被加數=和數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:被減數-差數=減數
   乘法算式:被乘數*乘數=積
   驗算公式:乘數*被乘數=積

二、逆运算

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:差數+減數=被減數
   乘法算式:被乘數*乘數=積
   驗算公式:積/被乘數=乘數
   除法算式:被除數/除數=商(及餘數)
   驗算公式:(除數*商)+餘數=被除數

三、尾错复尾

   只再計算最後幾位數一次
九余数法

只能验加法,减法,乘法和乘幂

范例一、 123+456=599

        123=1+2+3=6(mod 9)
        456=4+5+6=6(mod 9)
        599=5+9+9=5(mod 9)
       因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579

范例二、 123*456=68934

         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
       因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088

范例三、 22*68*53=369780

         22=4(mod 9)
         68=5(mod 9)
         53=8(mod 9)
         369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
        因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288

范例四、 23^4=367981

         23^4=(-4)^4=4(mod 9)
         367981=34=7(mod 9)
       因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841
   九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
         
九除法
十一除法
二除法

珠算竞技

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珠算竞技可分为珠算竞技和心算竞技两大类,心算竞技是运用珠算式心算技巧。

参考文献

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  1. ^ 中国珠算入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”座谈会在京举办. [2020-03-24]. (原始内容存档于2020-12-22). 
  2. ^ 廖正辉. 單手運珠與雙手撥珠的差異. 珠算万维网. [2021-10-21]. (原始内容存档于2021-10-21). 
  3. ^ (算盘)珠算10:乘法2——凑倍乘法. 哗哩哗哩. [2021-10-21]. (原始内容存档于2021-10-21). 

外部链接

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参见

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