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畢氏定理

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直角邊的平方和等於斜邊的平方

畢氏定理(英語:Pythagorean theorem)是平面幾何中一個基本而重要的定理。畢氏定理說明,平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度(古稱勾長、股長)的平方和等於斜邊長(古稱弦長)的平方。反之,若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方,則它是直角三角形(直角所對的邊是第三邊)。畢氏定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。

此定理又稱勾股定理商高定理新娘座椅定理百牛定理。「畢氏」所指的是其中一個發現這個定理的古希臘數學家畢達哥拉斯,但歷史學家相信這個定理早在畢達哥拉斯出生的一千年前已經在世界各地廣泛應用。不過,現代西方數學界統一稱呼它為「畢達哥拉斯定理」。

周髀算經》記述公元前一千多年,商高這組畢氏三元數為例解釋了畢氏定理要素[1],論證「弦長平方必定是兩直角邊的平方和」,確立了直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊平方的判定原則。其判定方法因後世不明其法而被忽略[2]

古埃及公元前2600年的紙莎草記載有這一組畢氏三元數,而古巴比倫泥板紀錄的最大的一個畢氏三元數組是

有些參考資料提到法國和比利時將畢氏定理稱為驢橋定理,但驢橋定理是指等腰三角形的二底角相等,非畢氏定理[3]

畢氏定理有四百多個證明,如微分證明,面積證明等。

定理[編輯]

在平面上的一個直角三角形中,兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是,斜邊長度是,那麼可以用數學語言表達:


餘弦定理是畢氏定理的一個推廣[4]。畢氏定理現約有400種證明方法,是數學定理中證明方法最多的定理之一[5]

其他形式[編輯]

如果是斜邊的長度而a和b是另外兩條邊的長度,畢氏定理可以寫成:

如果知道,可以這樣寫:

如果斜邊的長度和其中一條邊()知道,那另一邊的長度可以這樣計算:

簡單來說,只要知道直角三角形的其中兩條邊長,便能求出第三條邊長。

畢氏三元數組[編輯]

畢氏三元數組是滿足畢氏定理正整數,其中的稱為畢氏三元數。例如就是一組畢氏三元數組。

任意一組畢氏三元數可以表示為如下形式:,其中

歷史[編輯]

公元前18世紀記錄各種畢氏三元數組的巴比倫石板

這個定理的歷史可以被分成三個部份:發現畢氏三元數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。

畢氏三元數[編輯]

畢氏三元數的發現時間較早,例如埃及的紙草書裡面就有這一組畢氏三元數,而巴比倫泥板涉及的最大的一個畢氏三元數組是。後來的中國的算經、印度與阿拉伯的數學書也有記載[6]。在中國,《周髀算經》中也記述了這一組畢氏三元數[7]金朝數學家李冶在《測圓海鏡》中,通過勾股容圓圖式的十五個勾股形和直徑的關係,建立了系統的天元術,推導出692條關於勾股形的各邊的公式,其中用到了多組畢氏三元數作為例子。

普遍定理的發現[編輯]

巴比倫人得到的畢氏三元數的數量和質量不太可能純從測量手段獲得。之後的畢達哥拉斯本人並無著作傳世,不過在他死後一千年,5世紀的普羅克勒斯歐幾里德的名著《幾何原本》做註解時將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派

普魯塔克西塞羅也將發現的功勞歸於畢達哥拉斯,但沒有任何證據表明畢達哥拉斯證明了畢氏定理,以素食聞名的畢達哥拉斯殺牛更是不可思議。

在中國,記載秦朝的算數書並未記載畢氏定理,只是記錄了一些畢氏三元數。定理首次載於書面則是在成書於西漢但內容收集整理自公元前一千多年以來的《周髀算經》「榮方問於陳子」一節中:

因此此定理也被稱之為陳子定理。

東漢末年趙爽周髀算經注》《勾股圓方圖注》記載:

趙爽《勾股圓方圖》

在《九章算術注》中,劉徽反覆利用畢氏定理求圓周率,並利用「割補術」做「青朱出入圖」完成畢氏定理的幾何圖形證明。

直至現時為止,仍有許多關於畢氏定理是否不止一次被發現的辯論。

證明[編輯]

畢達哥拉斯學派的證明沒有流傳下來,流傳下來書面證明最早見於《幾何原本》第一冊的第47個命題。在中國,東漢末年吳國的趙爽最早給出畢氏定理的證明。巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉英語Bharati Krishna Tirthaji吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了畢氏定理。

證明[編輯]

這個定理有許多證明的方法,其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式(例如:正弦餘弦函數的泰勒級數)來證明畢氏定理,但是,因為所有的基本三角恆等式都是建基於畢氏定理,所以不能作為畢氏定理的證明(參見循環論證)。

趙爽勾股圓方圖證明法[編輯]

中國三國時期趙爽為證明畢氏定理作「勾股圓方圖」即「弦圖」,按其證明思路,其法可涵蓋所有直角三角形,為東方特色畢氏定理無字證明法。2002年第24屆國際數學家大會(ICM)在北京召開。中國郵政發行一枚郵資明信片,郵資圖就是這次大會的會標—中國古代證明畢氏定理的趙爽弦圖。

趙爽 勾股圓方圖證明畢氏定理法動畫

劉徽「割補術」證明法[編輯]

中國魏晉時期數學家劉徽依據其「割補術」為證畢氏定理另闢蹊徑而作「青朱出入圖」。劉徽描述此圖,「勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其餘不動也,合成弦方之冪。開方除之,即弦也。[8]」其大意為,一個任意直角三角形,以勾寬作紅色正方形即朱方,以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊置換,再進行割補—以盈補虛,分割線內不動,線外則「各從其類」,以合成弦的正方形即弦方,弦方開方即為弦長。

劉徽 青朱出入圖

利用相似三角形的證法[編輯]

相似三角形的證明

有許多畢氏定理的證明方式,都是基於相似三角形中兩邊長的比例

為一直角三角形,直角於(看右圖)。從點畫上三角形的,並將此高與的交叉點稱之為。此新和原本的相似,因為在兩個三角形中都有一個直角(這又是由於「高」的定義),而兩個三角形都有這個共同角,由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理,也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係:

因為

所以

可以寫成

綜合這兩個方程式,我們得到

換句話說:

歐幾里得的證法[編輯]

《幾何原本》中的證明

歐幾里得的《幾何原本》一書中給出畢氏定理的以下証明。設為一直角三角形,其中A為直角。從點劃一直線至對邊,使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在定理的證明中,我們需要如下四個輔助定理:

  • 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。(SAS定理)
  • 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
  • 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
  • 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積(據輔助定理3)。

證明的思路為:把上方的兩個正方形,透過等高同底的三角形,以其面積關係,轉換成下方兩個同等面積的長方形。

證明輔助圖2

其證明如下:

  1. 為一直角三角形,其直角為
  2. 其邊為、和,依序繪成四方形
  3. 畫出過點的平行線。此線將分別與直角相交於
  4. 分別連接,形成兩個三角形
  5. 都是直角,因此都是共線的,同理可證共線。
  6. 皆為直角,所以相等於
  7. 因為分別等於,所以必須全等於
  8. 因為在同一直線上,所以四方形必須二倍面積於
  9. 因為在同一直線上,所以正方形必須二倍面積於
  10. 因此四邊形必須和有相同的面積=
  11. 同理可證,四邊形必須有相同的面積
  12. 把這兩個結果相加,
  13. 由於
  14. 由於是個正方形,因此

此證明是於歐幾里得幾何原本》一書第1.47節所提出的[9]

由於這個定理的證明依賴於平行公理,而且從這個定理可以推出平行公理,很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。

圖形重新置換證法[編輯]

以面積減算法證明

此證明以圖形重新置換證明。兩個大正方形的面積皆為。把四個相等的三角形移除後,左方餘下面積為,右方餘下面積為,兩者相等。證畢。

以重新置換法證明


以動畫方式來論證畢氏定理

畢氏定理的逆定理[編輯]

畢氏定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法,其中為最長邊:

  • 如果,則是直角三角形。
  • 如果,則是銳角三角形(若無先前條件為最長邊,則該式的成立僅滿足是銳角)。
  • 如果,則是鈍角三角形。

(這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸)

逆定理的證明[編輯]

畢氏定理的逆定理的證法數明顯少於畢氏定理的證法。以下是一些常見證法。

同一法[編輯]

構造,使

根據畢氏定理,,從而

因此,

餘弦定理[編輯]

根據餘弦定理,。由於,故,從而

相似三角形[編輯]

邊上截取點使

中,

從而,,以及

另一方面,,故由知,

因而,,所以

非歐幾何[編輯]

畢氏定理是由歐幾里得幾何的公理推導出來的,其在非歐幾里得幾何中是不成立的[10]。因為畢氏定理的成立涉及到了平行公設[11][12]

參考文獻[編輯]

  1. ^ 周髀算經, 文物出版社, 1980-03, 其一,「以為勾的廣三,股修四,徑隅五」。其二,「既方其外,半之一矩,環而共盤,得成三四五。兩矩共長二十有五,是謂積動差。」 
  2. ^ 曲安京. 商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明 (PDF). 
  3. ^ 蔡聰明. 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生. [2013-08-21]. (原始內容存檔於2013-11-10). 
  4. ^ 中学数学敎学. 中國人民大學書報資料社. 1984: 49. 
  5. ^ 李信明. 中國數學五千年. 台北: 台灣書店. 1998: 106. ISBN 9575671511. 
  6. ^ 《數學辭海》第六卷,山西敎育出版社, 2002年出版,第618頁。
  7. ^ 周髀算经. 商高答周公問曰:「勾廣三,股備四,徑隅五」 
  8. ^ 劉徽《九章算術注》
  9. ^ 《幾何原本》第1.47節 頁面存檔備份,存於網際網路檔案館(英文),歐幾里德著,2006年12月19日存取
  10. ^ Stephen W. Hawking. cited work. 2005: 4. ISBN 0-7624-1922-9. 
  11. ^ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics 2nd. 2003: 2147. ISBN 1-58488-347-2. The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem. 
  12. ^ Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment. Cambridge University Press. 2006: 11. ISBN 0-521-85959-X. We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. 

外部連結[編輯]

參見[編輯]