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哈密頓原理

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威廉·哈密顿

物理學裏,哈密頓原理(英語:Hamilton's principle)是愛爾蘭物理學家威廉·哈密頓於1833年發表的關於平穩作用量原理的表述。哈密頓原理闡明,一個物理系統的拉格朗日函數,所構成的泛函變分問題解答,可以表達這物理系統的動力行為。拉格朗日函數又稱為拉格朗日量,包含了這物理系統所有的物理內涵。這泛函稱為作用量。哈密頓原理提供了一種新的方法來表述物理系統的運動。不同於牛頓運動定律微分方程式方法,這方法以積分方程式來設定系統的作用量,在作用量平穩的要求下,使用變分法來計算整個系統的運動方程式

雖然哈密頓原理本來是用來表述經典力學,這原理也可以應用於經典場,像電磁場重力場,甚至可以延伸至量子場論等等。

概念[编辑]

微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出,隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化,一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變,又加上已知這變數在某一點的數值或導數值,就能求得物理變數在任何點的數值。

哈密頓原理用積分方程式來表述物理系統的運動。我們只需要設定系統在兩個點的狀態,叫做最初狀態與最終狀態。然後,經過求解系統作用量的平穩值,我們可以得到系統在,兩個點之間,其他點的狀態。不但是關於經典力學中的一個單獨粒子,而且也關於經典電磁場萬有引力場,這表述都是正確的。更值得一提的是,現今,哈密頓原理已經延伸至量子力學量子場論了。

變分法數學語言來表述,求解一個物理系統作用量的平穩值(通常是最小值),可以得到這系統隨時間的演變(就是說,系統怎樣從一個狀態演變到另外一個狀態)。更廣義地,系統的正確演變對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演變的微分方程式。

定義[编辑]

哈密頓原理闡明,一個物理系統的拉格朗日函數所構成的作用量泛函,其平穩值是這物理系統的真實演化。

以數學方程式表示,定義作用量為

其中,是系統的拉格朗日函數廣義坐標時間的函數,分別為初始時間和終結時間。

假若,作用量的一次變分,作用量為平穩值,則正確地描述這系統的真實演化。[1]:2

拉格朗日方程式導引[编辑]

從哈密頓原理可以推導出拉格朗日方程式。假設是系統的正確運動,微擾函數為一個虛位移,虛位移在軌道的兩個端點的值是零:

取至的一階微擾,作用量泛函的一次變分

這裏,我們將拉格朗日量展開至的一階微擾。

應用分部積分法於最右邊項目:

邊界條件使第一個項目歸零:

作用量泛函平穩的要求意味著,對於正確運動的任意微擾,一次變分必須等於零:

特別注意,我們沒有對廣義坐標做任何要求。在這裏,我們要求所有的廣義坐標都互不相依;也就是說,這系統是完整系統。這樣,我們可以應用變分法基本引理而得到拉格朗日方程式:

在各個物理學領域,拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式,能夠用來精確地理論分析許多物理系統。[1]:2-3

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 列夫, 朗道. 理论物理学教程-第一卷 力学. 北京: 高等教育出版社. 2007. ISBN 9787040208498. 
  • Herbert Goldstein (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69.
  • 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics(Butterworth-Heinenann, 1976), 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0.
  • Arnold VI.(1989)Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59-61.