虛位移

粒子的運動軌道與虛軌道分別為$x(t)$$x(t)$與$x'(t)$$x'(t)$。在位置$x_{1}$$x_1$、時間$t_{1}$$t_{1}$，虛位移為$\delta x$$\delta x$。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為$x_{0}$$x_{0}$與$x_{2}$$x_2$。

在分析力學裏，保持時間不變，虛位移是符合約束條件的無窮小位移。由於任何物理運動都需要經過時間的演進才會有實際的位移，所以稱保持時間不變的位移為虛位移。

如右圖，假設一個粒子的運動軌道是$x(t)$$x(t)$，另外一條不違反約束條件的路徑是$x'(t)$$x'(t)$，則在時間$t_{1}$$t_{1}$，虛位移是$\delta x=x'(t_{1})-x(t_{1})$$\delta x=x'(t_{1})-x(t_{1})$。

假設一個位置向量$\mathbf {r} _{i}$${\mathbf {r}}_{i}$是廣義坐標$q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}$$q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}$與時間$t$$t$的函數，$\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},t)$${\mathbf {r}}_{i}={\mathbf {r}}_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},t)$，則此位置向量的無窮小位移為

$d\mathbf {r} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}dt+\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}$$d{\mathbf {r}}_{i}={\frac {\partial {\mathbf {r}}_{i}}{\partial t}}dt+\sum _{{j=1}}^{N}{\frac {\partial {\mathbf {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}$；

虛位移$\delta \mathbf {r} _{i}$$\delta {\mathbf {r}}_{i}$為

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$$\delta {\mathbf {r}}_{i}=\sum _{{j=1}}^{N}{\frac {\partial {\mathbf {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$。

物理系統的運動必須符合設定的約束條件，虛位移也必須符合約束條件。例如，假設一個彈珠被約束地只能移動於一個直立的圓圈。它的位置可以用角坐標$\theta$$\theta$表示所在地點的角度。如果彈珠是在圓圈的頂端，將彈珠從高度$z$$z$往上移至高度$z+dz$$z+dz$是一個會違反約束，唯有可能的虛位移是將彈珠從位置$\theta$$\theta$移至$\theta +\delta \theta$$\theta +\delta \theta$；這裏，$\delta \theta$$\delta \theta$可以是正數或負數。

特別注意，虛位移只是空間位移；時間是固定的。雖然某一數值是空間與時間的參數，當計算此數值的虛全微分時，完全不考慮時間的相關性，也就是說$\delta t=0$$\delta t=0$。

參閱

• 虛功
• 達朗貝爾原理
• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學