虛位移

粒子的運動軌道與虛軌道分別為$x (t)$與$x'(t)$。在位置$x_1$、時間$t_1$，虛位移為$\delta x$。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為$x_0$與$x_2$。

在分析力學裏，保持時間不變，虛位移是符合約束條件的無窮小位移。由於任何物理運動都需要經過時間的演進才會有實際的位移，所以稱保持時間不變的位移為虛位移。

如右圖，假設一個粒子的運動軌道是$x (t)$，另外一條不違反約束條件的路徑是$x'(t)$，則在時間$t_1$，虛位移是$\delta x=x'(t_1)-x(t_1)$。

假設一個位置向量$\mathbf{r}_i$是廣義坐標$q_1, q_2,\dots, q_N$與時間$t$的函數，$\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q_1, q_2,\dots, q_N, t)$，則此位置向量的無窮小位移為

$d \mathbf{r}_i = \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial t} d t + \sum_{j=1}^N \frac{\partial\mathbf {r}_i} {\partial q_j} d q_j$；

虛位移$\delta \mathbf{r}_i$為

$\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^N \frac {\partial\mathbf{r}_i} {\partial q_j} \delta q_j$。

物理系統的運動必須符合設定的約束條件，虛位移也必須符合約束條件。例如，假設一個彈珠被約束地只能移動於一個直立的圓圈。它的位置可以用角坐標$\theta$表示所在地點的角度。如果彈珠是在圓圈的頂端，將彈珠從高度$z$往上移至高度$z + dz$是一個會違反約束，唯有可能的虛位移是將彈珠從位置$\theta$移至$\theta + \delta\theta$；這裏，$\delta\theta$可以是正數或負數。

特別注意，虛位移只是空間位移；時間是固定的。雖然某一數值是空間與時間的參數，當計算此數值的虛全微分時，完全不考慮時間的相關性，也就是說$\delta t = 0$。

參閱

• 虛功
• 達朗貝爾原理
• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學