粒子的運動軌道與虛軌道分別為
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
與
x
′
(
t
)
{\displaystyle x'(t)}
。在位置
x
1
{\displaystyle x_{1}}
、時間
t
1
{\displaystyle t_{1}}
，虛位移為
δ
x
{\displaystyle \delta x}
。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為
x
0
{\displaystyle x_{0}}
與
x
2
{\displaystyle x_{2}}
。
在分析力學 裏，保持時間不變，虛位移 是符合約束條件 的無窮小位移 。由於任何物理運動都需要經過時間的演進才會有實際的位移，所以稱保持時間不變的位移為虛位移[1]
如右圖，假設一個粒子的運動軌道是
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
′
(
t
)
{\displaystyle x'(t)}
t
1
{\displaystyle t_{1}}
δ
x
=
x
′
(
t
1
)
−
x
(
t
1
)
{\displaystyle \delta x=x'(t_{1})-x(t_{1})}
假設一個位置向量
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
廣義坐標
q
1
,
q
2
,
…
,
q
N
{\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}}
t
{\displaystyle t}
r
i
=
r
i
(
q
1
,
q
2
,
…
,
q
N
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},t)}
d
r
i
=
∂
r
i
∂
t
d
t
+
∑
j
=
1
N
∂
r
i
∂
q
j
d
q
j
{\displaystyle d\mathbf {r} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}dt+\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}}
虛位移
δ
r
i
{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}
δ
r
i
=
∑
j
=
1
N
∂
r
i
∂
q
j
δ
q
j
{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}}
物理系統的運動必須符合設定的約束條件 ，虛位移也必須符合約束條件。例如，假設一個彈珠被約束地只能移動於一個直立的圓圈。它的位置可以用角坐標
θ
{\displaystyle \theta }
z
{\displaystyle z}
z
+
d
z
{\displaystyle z+dz}
θ
{\displaystyle \theta }
θ
+
δ
θ
{\displaystyle \theta +\delta \theta }
δ
θ
{\displaystyle \delta \theta }
特別注意，虛位移只是空間位移；時間是固定的。雖然某一數值是空間與時間的參數，當計算此數值的虛全微分時，完全不考慮時間的相關性，也就是說
δ
t
=
0
{\displaystyle \delta t=0}
參考文獻 [ 编辑 ]
^ Torby, Bruce. Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. 1984: pp. 263–265. ISBN 0-03-063366-4
