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拉格朗日方程式

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約瑟夫·拉格朗日

拉格朗日方程式Lagrange equation),因數學物理學家约瑟夫·拉格朗日而命名,是分析力學的重要方程式,可以用來描述物體的運動,特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相等於牛頓力學中的牛頓第二定律

定義[编辑]

假設一個物理系統符合完整系統的要求,即所有廣義座標都互相獨立,則拉格朗日方程式成立:

其中,拉格朗日量是廣義座標,是時間的函數,廣義速度

導引[编辑]

分析力學裏,有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式(參閱達朗貝爾原理);更進階層面,可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式(參閱哈密頓原理);最簡明地,可以借用數學變分法歐拉-拉格朗日方程式來推導:

設定函數

其中,自變數independent variable)。

使泛函取得局部平穩值,則在區間內,歐拉-拉格朗日方程式成立:

現在,執行下述轉換:

  • 設定獨立變數為時間
  • 設定函數為廣義坐標
  • 設定泛函為拉格朗日量

則可得到拉格朗日方程式

  • 為了滿足這轉換的正確性,廣義坐標必須互相獨立,所以,這系統必須是完整系統。
  • 拉格朗日量是動能減去位勢,而位勢必須是廣義位勢。所以,這系統必須是單演系統。

半完整系統[编辑]

主項目:參閱半完整系統

一個不是完整系統的物理系統是非完整系統,不能用上述形式論來分析。假若,一個非完整系統的約束可以以方程式表示為

則稱此系統為半完整系統[1]

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說,分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子

其中,是未知函數。

由於這個廣義坐標中,有個相依的廣義坐標,泛函不能直接被轉換為拉格朗日量;必須加入拉格朗日乘子,將泛函轉換為。這樣,可以得到拉格朗日廣義力方程式:

其中,廣義力

個廣義力運動方程式加上個約束方程式,給出個方程式來解個未知廣義坐標與個拉格朗日乘子。

實例[编辑]

這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出,用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力,因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

自由落體[编辑]

思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力作用於此粒子,應用牛頓第二定律,可以得到運動方程式

其中,x-坐標垂直於地面,由初始點(原點)往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能

位勢

所以,拉格朗日量

代入拉格朗日方程式,

運動方程式是

與牛頓方法的運動方程式相同。

具有質量的移動支撐點的簡單擺[编辑]

PendulumWithMovingSupport.JPG

思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面,y-軸垂直於x-軸,指向地面。擺錘P的質量是,位置是。擺繩的長度是。擺的支撐點Q的質量是。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是。擺繩與y-軸的夾角是。那麼,動能是

位勢為

所以,拉格朗日量是

兩個約束方程式為

將約束方程式代入拉格朗日量方程式,

特別注意,在這裏,廣義坐標是。應用拉格朗日方程式,經過微分運算,對於坐標,可以得到

運動方程式為

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標,稱可略坐標,而其相對應的廣義動量是常數

對於坐標,可以得到

所以,運動方程式為

假如用牛頓第二定律,則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 (英语).