非完整系統

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古典力學裏,假如,一個系統有任何約束非完整約束,則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是完整約束。完整約束可以用方程式表示為

這裏,是每一個粒子之位置和時間的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。

廣義座標的轉換[编辑]

完整約束方程式與位置、時間有關,與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數是完整約束函數裏的一個參數,現在指定除去。重新編排上述約束方程式,求出表示的函數

將函數代入所有提到的方程式。這樣,可以除去所有指定變數

假設一個物理系統原本的自由度。現在,將個完整約束作用於此系統。那麼,這系統的自由度減少為。可以用個獨立廣義座標來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下:

換句話說,由於非完整約束無法依照上述方法,來除去其所含廣義座標,完全描述非完整系統,所需要的廣義座標數目,大於自由度。

微分形式表示[编辑]

約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第個約束的微分形式的約束方程式:

這裏,分別為微分的係數。

假若此約束方程式是可積分的。也就是說,有一個函數的全微分滿足下述等式:

那麼,此約束是完整約束;否則,此約束是非完整約束。因此,所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以,假若知道一個約束的微分形式的約束方程式,這約束到底是完整約束,還是非完整約束,需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。

半完整系統[编辑]

表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此,非完整系統也比較難分析,只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如,一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示:

則稱此系統為半完整系統[1];這裏,廣義速度

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說,分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子

這裏,是未知函數。

假設哈密頓原理成立,則下述方程式成立:

這裏,拉格朗日量分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算,可以得到方程式

由於這個廣義座標中,仍舊有個不獨立廣義座標,不能將拉格朗日方程式提取出來;必須加入拉格朗日乘子項目:

經過變分法運算,可以得到方程式

 ;

這裏,廣義力分量:

雖然還有個不獨立廣義座標,仍舊可以調整加入的拉格朗日乘子,使總和公式內的每一個虛位移的係數都等於0。因此,

個方程式加上個約束方程式,給予了個方程式來解個未知廣義座標與個拉格朗日乘子。

實例[编辑]

非完整系統至少存在於以下三個狀況:

  1. 物體在做滾動運動。
  2. 系統的約束包括不等式
  3. 系統的約束與速度有關。

參閱[编辑]

拉格朗日力學
哈密頓力學
完整系統
定常系統
單演系統
保守系統

參考文獻[编辑]

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 (English).