非完整系統

在古典力學裏，假如，一個系統有任何約束是非完整約束，則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是完整約束。完整約束可以用方程式表示為

$f(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{N},\ t)=0$；

這裏，$f$是每一個粒子$P_{i}$之位置$x_{i}$和時間$t$的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。

廣義坐標的轉換

完整約束方程式與位置、時間有關，與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數$x_{d}$是完整約束函數$f_{k}$裏的一個參數，現在指定除去$x_{d}$。重新編排上述約束方程式，求出表示$x_{d}$的函數$g_{k}$：

$x_{d}=g_{k}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t)$。

將函數$g_{k}$代入所有提到$x_{d}$的方程式。這樣，可以除去所有指定變數$x_{d}$。

假設一個物理系統原本的自由度是$N$。現在，將$h$個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為$m=N-h$。可以用$m$個獨立廣義座標$(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})$來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下：

$x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N$。

換句話說，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其所含廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。

微分形式表示

約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第$i$個約束的微分形式的約束方程式：

$\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0$；

這裏，$c_{ij}$，$c_{i}$分別為微分$dq_{j}$與$dt$的系數。

假若此約束方程式是可積分的。也就是說，有一個函數$f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0$的全微分滿足下述等式：

$df_{i}=\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0$；

那麼，此約束是完整約束；否則，此約束是非完整約束。因此，所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束的微分形式的約束方程式，這約束到底是完整約束，還是非完整約束，需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。

半完整系統

表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此，非完整系統也比較難分析，只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如，一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示：

$f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n$；

則稱此系統為半完整系統；這裏，${\dot {q}}_{j}$是廣義速度。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子$\lambda _{i}$

$\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}f_{i}=0$；

這裏，$\lambda _{i}=\lambda _{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N},\ t)$是未知函數。

假設哈密頓原理成立，則下述方程式成立：

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ L\ dt=0$；

這裏，$L$是拉格朗日量，$t_{1}$ 與$t_{2}$分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算，可以得到方程式

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \sum _{j}\ \left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\right)\delta q_{j}\ dt=0$。

由於這$N$個廣義座標中，仍舊有$n$個不獨立廣義座標，不能將拉格朗日方程式提取出來；必須加入拉格朗日乘子項目：

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \left(L+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}f_{i}\right)\ dt=0$。

經過變分法運算，可以得到方程式

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \sum _{j}\ \left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)+{\mathcal {F}}_{j}\right)\delta q_{j}\ dt=0$ ;

這裏，${\mathcal {F}}_{j}$是廣義力的$j$分量：

${\mathcal {F}}_{j}=\sum _{i}\ \left[{\frac {\partial (\lambda _{i}f_{i})}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial (\lambda _{i}f_{i})}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\right]$。

雖然還有$n$個不獨立廣義座標，仍舊可以調整$n$加入的拉格朗日乘子，使總和公式內的每一個虛位移$\delta q_{j}$的系數都等於0。因此，

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}={\mathcal {F}}_{j}$。

這$N$個方程式加上$n$個約束方程式，給予了$N+n$個方程式來解$N$個未知廣義座標與$n$個拉格朗日乘子。

實例

非完整系統至少存在於以下三個狀況：

1. 物體在做滾動運動。
2. 系統的約束包括不等式。
3. 系統的約束與速度有關（例如普法夫約束）。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 完整系統
• 定常系統
• 單演系統
• 保守系統
• 平行停車問題
• 落貓問題
• 自行車及摩托車的動力學

參考文獻

• Jack Sarfatti. Non Holonomic Constraints in Newtonian Mechanics (PDF). Pedagogical Review from the Classics of Physics. 2000-03-26. （原始內容 (PDF)存檔於2007-10-20） （英語）.