非完整系统

在古典力学里，假如，一个系统有任何约束是非完整约束，则称此系统为非完整系统。非完整约束不是完整约束。完整约束可以用方程式表示为

$f(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{N},\ t)=0$；

这里，$f$是每一个粒子$P_{i}$之位置$x_{i}$和时间$t$的函数。非完整约束不能够用上述方程式表示。

广义坐标的转换

完整约束方程式与位置、时间有关，与速度无关。完整约束方程式可以很简易地除去指定的变数。假设变数$x_{d}$是完整约束函数$f_{k}$里的一个参数，现在指定除去$x_{d}$。重新编排上述约束方程式，求出表示$x_{d}$的函数$g_{k}$：

$x_{d}=g_{k}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t)$。

将函数$g_{k}$代入所有提到$x_{d}$的方程式。这样，可以除去所有指定变数$x_{d}$。

假设一个物理系统原本的自由度是$N$。现在，将$h$个完整约束作用于此系统。那么，这系统的自由度减少为$m=N-h$。可以用$m$个独立广义座标$(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})$来完全描述这系统的运动。座标的转换方程式可以表示如下：

$x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N$。

换句话说，由于非完整约束无法依照上述方法，来除去其所含广义座标，完全描述非完整系统，所需要的广义座标数目，大于自由度。

微分形式表示

约束有时可以用微分形式的约束方程式来表示。思考第$i$个约束的微分形式的约束方程式：

$\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0$；

这里，$c_{ij}$，$c_{i}$分别为微分$dq_{j}$与$dt$的系数。

假若此约束方程式是可积分的。也就是说，有一个函数$f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0$的全微分满足下述等式：

$df_{i}=\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0$；

那么，此约束是完整约束；否则，此约束是非完整约束。因此，所有的完整约束与某些非完整约束可以用微分形式的方程式来表示。不是所有的非完整约束都可以这样表示。含有广义速度的非完整约束就不能这样表示。所以，假若知道一个约束的微分形式的约束方程式，这约束到底是完整约束，还是非完整约束，需要看微分形式的约束方程式能否积分来决定。

半完整系统

表示非完整约束的方程式往往比较复杂。因此，非完整系统也比较难分析，只有简易一点的非完整系统能用形式论来分析。假如，一个非完整系统的约束可以用以下方程式表示：

$f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n$；

则称此系统为半完整系统；这里，${\dot {q}}_{j}$是广义速度。

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子$\lambda _{i}$

$\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}f_{i}=0$；

这里，$\lambda _{i}=\lambda _{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N},\ t)$是未知函数。

假设哈密顿原理成立，则下述方程式成立：

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ L\ dt=0$；

这里，$L$是拉格朗日量，$t_{1}$ 与$t_{2}$分别为积分的时间下限与上限。经过变分法运算，可以得到方程式

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \sum _{j}\ \left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\right)\delta q_{j}\ dt=0$。

由于这$N$个广义座标中，仍旧有$n$个不独立广义座标，不能将拉格朗日方程式提取出来；必须加入拉格朗日乘子项目：

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \left(L+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}f_{i}\right)\ dt=0$。

经过变分法运算，可以得到方程式

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \sum _{j}\ \left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)+{\mathcal {F}}_{j}\right)\delta q_{j}\ dt=0$ ;

这里，${\mathcal {F}}_{j}$是广义力的$j$分量：

${\mathcal {F}}_{j}=\sum _{i}\ \left[{\frac {\partial (\lambda _{i}f_{i})}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial (\lambda _{i}f_{i})}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\right]$。

虽然还有$n$个不独立广义座标，仍旧可以调整$n$加入的拉格朗日乘子，使总和公式内的每一个虚位移$\delta q_{j}$的系数都等于0。因此，

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}={\mathcal {F}}_{j}$。

这$N$个方程式加上$n$个约束方程式，给予了$N+n$个方程式来解$N$个未知广义座标与$n$个拉格朗日乘子。

实例

非完整系统至少存在于以下三个状况：

1. 物体在做滚动运动。
2. 系统的约束包括不等式。
3. 系统的约束与速度有关（例如普法夫约束）。

参阅

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 完整系统
• 定常系统
• 单演系统
• 保守系统
• 平行停车问题
• 落猫问题
• 自行车及摩托车的动力学

参考文献

• Jack Sarfatti. Non Holonomic Constraints in Newtonian Mechanics (PDF). Pedagogical Review from the Classics of Physics. 2000-03-26. （原始内容 (PDF)存档于2007-10-20） （英语）.