不等

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数学上,不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系(参见等于)。不等关系主要有四种:

  • a < b,即 a 小于 b
  • a > b,即 a 大于 b

上述两个属于严格不等

  • a ≦ b,即 a 小于等于 b
  • a ≧ b,即 a 大于等于 b
  • a≠b,即 a 不等于 b

将两个表达式用不等符号连起来,就构成了不等式

若不等关系对变量的所有元素都成立,则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立,而对另一部分将改变方向或失效,则称为条件不等。

不等式两边同时加或减相同的数,或者两边同时乘以或除以同一个正数,不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数,不等关系改变方向。

符号 a >> b 表示 a “远大于” b。其含义是不确定的,可以是 100 倍的差异,也可能是 10 个数量级的差异。和方程相联系,它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

性质[编辑]

不等具有下列性质:

三分性:
对任意实数 a、b,只有下列之一是真的:
  • a < b
  • a = b
  • a > b
传递性
对任意实数 a、b、c,如果a < b,b < c,则a < c;如果a > b,b > c则a > c。
加法减法的性质:
对任意实数 a、b、c:
  • a > b;则 a + c > b + ca - c > b - c
  • a < b;则 a + c < b + ca - c < b - c
乘法除法的性质:
对任意实数 a、b、c:
  • 若 c 为 正数a > b;则 ac > bc{a \over c} > {b \over c}
  • 若 c 为 正数 且 a < b;则 ac < bc{a \over c} < {b \over c}
  • 若 c 为 负数a > b;则 ac < bc{a \over c} < {b \over c}
  • 若 c 为 负数 且 a < b;则 ac > bc{a \over c} >{ b \over c}

注意:当遇上不等关系求解时,比如已知A>B,C>D,不可以认为A-C>B-D。

举例[编辑]

  • x > 0 ;则
x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^{1/e}\,
  • x > 0 ;则
x^{x^x} \ge x\,
  • x, y, z > 0 ;则
(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2\,
  • x, y, z > 0 ;则
x^x y^y z^z \ge (xyz)^{(x+y+z)/3}\,
  • a, b > 0 ;则
a^a + b^b \ge a^b + b^a\,
  • a, b > 0 ;则
a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,
  • a, b, c > 0 ;则
a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,
  • a1, ..., an > 0 ;则
a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1

参见[编辑]