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一次方程

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一次方程也被称为线性方程,因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的图形都是一条直线。组成一次方程的每一必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量,因为如果没有变量只有常数,式子则是代数式而非方程式

如果一个一次方程中只包含一个变量(如x),那么该方程就是一元一次方程;如果包含两个变量(如x和y),那么就是一个二元一次方程;以此类推。

一元一次方程[编辑]

一元一次方程是指一个方程中仅含有一个变量(亦即未知数),且等号两边至少有一个一次单项式,且未知数的指数为

任意一个一元一次方程皆能化成)的形式,它的解为。以下是一个例子:

它的解法是:

(移项后合并同类项)
(两边同除以

一元一次方程是一个线性方程,二次项 或二次以上的项是不容许出现的。

注意: 时,

不是一元一次方程。

可以推出。 如果 ,此方程式无解;如果 ,则此方程式有无限多解。

二元一次方程组[编辑]

求解二元一次方程组可以使用代入消元法或加减消元法。

代入消元法[编辑]

代入消元法就是先利用其中一个方程,将含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数。然后代入另一个方程,从而将这组方程转化成解两个一元一次方程的方法。

例如:

再代入

从而求出

加减消元法[编辑]

加减消元法就是將两个方程相加或相减,从而消去其中一个未知数,从而将这组方程转化成解两个一元一次方程的方法。

通常,我们先将其中一方程的两边同时乘以一个不是0的数,使其中一个未知数的系数与另外一个方程对应的系数相同,再将两个方程相加或相减。

例如:

把两式相加消去x,即

从而求出

线性函数与线性化[编辑]

这是一个二元一次方程组的坐标系表示图,蓝线与红线分别各自表示一个一元一次方程,两线相交处就是这个方程组的解

在上图的例子中(但不限于此例)变量是变量函数,我们统一表示为。函数和方程的图形一致,二者形成一种对应关系。我们在线性化(Linearization)等问题中习惯将一元一次方程称为线性方程,相应地,我们也把一元一次函数称为线性函数

线性函数有如下特性:

其中是常数。

微分性质: 若线性函数表达式为 ),则 )。 由此可知,线性函数没有驻点,没有极大值极小值,且线性函数的斜率就是未知数 的系数。

可以利用线性函数的图形对二元一次方程组进行求解,这类问题就是线性化问题。

参见[编辑]