線性子空間

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線性子空間(或向量子空間)在線性代數和相關的數學領域中是重要的。在沒有混淆於其他子空間的時候通常簡稱為「子空間」。

定義[編輯]

線性代數和其他數學相關領域, 一個線性子空間 (或 向量子空間) U是給定域向量空間 V的一個 子集,並且它還是V的加法子群,同時,在純量乘下回到自身,那麼,V上運算在U上的限制導出U的向量空間結構,我們把U稱為V上的向量(或線性子空間


定理[編輯]

V 是在域 K 上的向量空間,並設 WV 的子集。則 W 是個子空間若且唯若它滿足下列三個條件:

  1. 零向量 0 在 W 中。
  2. 如果 uvW 的元素,則向量和 u + vW 的元素。
  3. 如果 uW 的元素而 c 是來自 K 的純量,則純量積 cuW 的元素。

性質[編輯]

  • 對於所有向量空間 V,集合 {0} 和 V 自身是 V 的子空間。
  • 如果 V內積空間,則任何 V 的子空間的正交補也是子空間。
  • 任意多個向量子空間的交集仍然是向量子空間。注意:兩個子空間的並集未必是子空間。例如V中任意兩個線性無關的向量且,那麼,不包含
  • 特徵化子空間的一種方式它們閉合在線性組合下。就是說,W 是子空間,若且唯若所有 W 的(有限多個)元素的線性組合也屬於 W。子空間的定理中條件 2 和 3 是最基本的線性組合。

例子[編輯]

例子 I: 設域 K實數的集合 R,並設向量空間 V歐幾里得空間 R3。 取 W 為最後的分量是 0 的 V 中所有向量的集合。則 WV 的子空間。

證明:

  1. 給定 Wuv,它們可以表達為 u = (u1,u2,0) 和 v = (v1,v2,0)。則 u + v = (u1+v1,u2+v2,0+0) = (u1+v1,u2+v2,0)。因此 u + v 也是 W 的元素。
  2. 給定 WuR 中純量 c,如果 u = (u1,u2,0),則 cu = (cu1, cu2, c0) = (cu1,cu2,0)。因此 cu 也 是 W 的元素。

例子 II: 設域是 R,設向量空間是歐幾里得幾何 R2。取 WR2 的使得 x = y 的所有點 (x,y) 的集合。則 WR2 的子空間。

證明:

  1. p = (p1,p2) 且 q = (q1,q2) 是 W 的元素,就是說,在平面上的點使得 p1 = p2q1 = q2。則 p + q = (p1+q1,p2+q2);因為 p1 = p2q1 = q2,則 p1 + q1 = p2 + q2,所以 p + qW 的元素。
  2. p = (p1,p2) 是 W 的元素,就是在平面中點使得 p1 = p2,並設 cR 中的純量。則 cp = (cp1,cp2);因為 p1 = p2,則 cp1 = cp2,所以 cpW 的元素。

一般的說,歐幾里得空間 Rn 的定義自齊次線性方程的任何子集都生成子空間。在幾何上說,這些子空間是穿過點0 的一些點、直線、平面。


子空間上的運算[編輯]

給定向量空間 V的子空間 UW,則它們的交集 U ∩ W := {vV: vUvW} 也是 V 的子空間。

證明:

  1. vwU ∩ W 的元素。則 vw 屬於 UW 二者。因為 U 是子空間,則 v + w 屬於 U。類似的,因為 W 是子空間,則 v + w 屬於 W。所以 v + w 屬於 U ∩ W
  2. v 屬於 U ∩ W,並設 c 是純量。則 v 屬於 UW 二者。因為 UW 是子空間,cv 屬於 UW 二者。

進一步的,和

是一個 V 的子空間。UWU + W 的維度滿足



外部連結[編輯]