雙球坐標系

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圖 1 )雙球坐標系的幾個坐標曲面。紅色環面的 。藍色圓球面的 。黃色半平面的 。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示),直角坐標大約為
圖 2 )雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色環面( -坐標曲面),而藍色圓圈則變成藍色圓球面( -坐標曲面)。

雙球坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉,則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏,坐標 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後,圓圈變成一個環面,而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈,稱為環心圓。稱環心圓至環面的距離為環小半徑

基本定義[编辑]

在三維空間裏,一個點 P 的雙球坐標 最常見的定義是

其中,直角坐標 坐標是 弧度 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 的比例的自然對數

坐標曲面[编辑]

每一個紅色的 -坐標曲面都是包含了兩個焦點 環面。,每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為

當絕對值 增加時,環小半徑會減小,環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時, 達到最大值

每一個藍色的 -坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點;圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為

它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 的圓球面在 半空間;而負值 的圓球面在 半空間。 曲線則與 xy-平面同平面。當 值增加時,圓球面的半徑會減少,圓球心會靠近焦點。

逆變換[编辑]

圖 3 )點 P 的坐標 的幾何意義。在一個方位角 為常數的平面裏,雙球坐標系變成雙極坐標系。 是角 的弧度。 是點 P 離兩個焦點的距離 的比例的自然對數 的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(表示在洋紅色的方盒裏)。

雙球坐標 可以用直角坐標 來表示。方位角 的公式為

點 P 與兩個焦點之間的距離是

的比例的自然對數

如圖 3 , 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 。用餘弦定理來計算:

標度因子[编辑]

雙球坐標 的標度因子相等:

方位角的標度因子為

無窮小體積元素是

拉普拉斯算子

其它微分算子,像 ,都可以用 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用[编辑]

雙球坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是,有兩個不同半徑的圓球導體,請問其周圍的電位電場為什麼?應用雙球坐標,我們可以精緻地分析這个问題。

參閱[编辑]

參考目錄[编辑]

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 665–666. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. 
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 113. ISBN 0-86720-293-9. 
  • Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 110–112 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.