圓環坐標系

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
圖 1 )圓環坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 。藍色環面的 。黃色半平面的 。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示),直角坐標大約為
圖 2 )雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色圓球面( -坐標曲面),而藍色圓圈則變成藍色環面( -坐標曲面)。

圓環坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面;兩個焦點 直角坐標分別為 。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉,則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點,變為一個半徑為 的圓圈,包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓,又稱為參考圓

數學定義[编辑]

在三維空間裏,一個點 P 的圓環坐標 最常見的定義是

其中,直角坐標 坐標是 弧度 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 的比例的自然對數:

圓環坐標的值域為

坐標曲面[编辑]

每一個 -坐標曲面都是包含了焦圓,而不同心的圓球面。圓球半徑為

正值 的圓球面的圓心都在正 z-軸;而負值 的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 增加時,圓球半徑會減小,圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時, 達到最大值

每一個 -坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為

曲線與 z-軸同軸。當 值增加時,圓球面的半徑會減少,圓球心會靠近焦點。

逆變換[编辑]

圖 3 )點 P 的坐標 的幾何詮釋。在一個方位角 為常數的平面裏,圓環坐標系變成雙極坐標系。 的夾角 的弧度是 的比例的自然對數 的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(以洋紅色表示)。

的比例的自然對數

圓環坐標 可以用直角坐標 來表達。方位角 的公式為

點 P 與兩個焦點之間的距離是

如圖 3 , 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 的夾角。這夾角的弧度是 。用餘弦定理來計算:

標度因子[编辑]

圓環坐標 的標度因子相等:

方位角的標度因子為

無窮小體積元素是

拉普拉斯算子

其它微分算子,像 ,都可以用 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用[编辑]

圓環坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,圓環坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是,有一個圓環導體,請問其周圍的電位電場為什麼?應用圓環坐標,我們可以精緻地分析這例題。

由於托卡馬克的圓環形狀,圓環坐標時常用在托卡馬克核融合理論研究。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 112–115. 
  • Andrews, Mark. Alternative separation of Laplace’s equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics. Journal of Electrostatics. 2006, 64: 664–672. 

參考目錄[编辑]

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 666. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. 
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 190–192. 
  • Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.