最密堆积

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如何在一定空間內堆疊出最多的橘子涉及最密堆積的問題。

在幾何上,最密堆积(英语:Sphere Packing)或球堆疊,是指在一定範圍內放入最多不重疊球體的方式,通常這些球的大小視為相同。堆積的範圍通常是三維歐幾里得空間,不過有時也會對超過三維的歐式空間或非歐幾何空間進行討論。

常見的最密堆積問題通常是要求在一空間內放入最多的球體。此時,球體總體積占空間大小的比例稱為密度,科學家會利用演算法找出能使密度儘可能增大的方法。理論上,在三維空間內由相同球體所形成的最密堆積密度能到74%。相較之下,隨機排列(例如隨意將幾顆球丟進箱子裡)的密度平均只有64%。

歐式幾何[编辑]

由相同大小之球體轉換到不規則形的氣泡。

在三維歐幾里得空間中,三维的最密堆积是由若干二维密置层叠合起来的,密置层中相邻的等径球都相切。其中兩種常見的最密堆積方式,一種稱為面心立方(FCC),底部必須是三角形,以便盡可能堆出最小的金字塔。另一種為六方最密堆積(HCP),要堆出最小的金字塔時,底部須為六角形。面心立方是在每一層中規律性地重複三個不同的位置,成為「ABCABC……」的模式;六方最密堆積則是規律性地重複兩個不同的位置,使各層在ABAB ...序列中交替。 但是也有可能出現多層堆疊序列(ABAC,ABCBA,ABCBAC等),並且仍然生成緊密堆積結構[1]。 在所有這些布置中,每個球被12個其他球圍繞。理論上其密度最大值為:

此外,常見的堆積方式密度如下:

實驗上,面心立方是六方最密堆積隨時間逐漸演變而來,特別是同等體積的氣泡、水滴或固體顆粒自動形成的模式[1]

高斯在1831年證明,這些填料在所有可能的點陣填料中密度最高[2]。在1611年克卜勒猜想這是在正規和不規則安排之間的最大可能密度,這被稱為開普勒猜想。在1998年,托馬斯·黑爾斯藉由拉斯羅‧費耶斯‧托特英语László Fejes Tóth所提出的方式,提出了一個關於此猜想的證明。黑爾斯利用窮舉法的方式證明此猜想,其證明大量地使用電腦程式的運算。審稿者曾說他們對於黑爾斯證明的正確性有99%的確定性,故克卜勒猜想目前已幾乎可說是個定理了。2014年由黑爾斯引導的Project FlysPecK完成了對克卜勒猜想的形式化證明。

化學[编辑]

化學上,晶體中的原子、離子或分子等粒子,其規則滿足点阵型式;能在相同空間內填入最多原子的方式稱為最密堆積,通常以固體存在於自然界。

各种最密堆积中,最有对称性的是六方最密堆积(英文缩写hcp,又叫A3型)和面心立方最密堆积(英文缩写fcc,又叫A1型),这两种是晶体中极常见的排列方式。hcp的叠合方式是2层一循环:ABAB……;fcc的叠合方式是3层一循环:ABCABC……。

六方最密堆积在取晶胞时,一般取六方锥的三分之一,晶胞属六方晶系,底面菱形的锐角一定是60°。下图是六方最密堆积的原子在一个六方锥的排列。

面心立方最密堆积示意圖

面心立方最密堆积出于对称性一般取面心型式的立方晶胞。一个晶胞涉及到的14个原子分属4层:以一个顶角为A层,与之最相邻的3个面心原子和3个顶角原子属于B层,接下来的6个原子属于C层,还有一个顶角与A层的顶角相对,它处于下一个循环的A层。

许多单质,尤其是金属单质为了获得较强的作用力,常采用最密堆积。
采用六方最密堆积的单质有:

采用面心立方最密堆积的单质有:

引用文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 堆放蘋果(球體)的最佳方式 - PanSci 泛科學. PanSci 泛科學. 2012-09-01 [2017-02-13] (中文(台灣)‎). 
  2. ^ Gauß, C. F. Besprechung des Buchs von L. A. Seeber: Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen usw [Discussion of L. A. Seeber's book: Studies on the characteristics of positive ternary quadratic forms etc]. Göttingsche Gelehrte Anzeigen. 1831. 

参看[编辑]