等角螺线

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等角螺线

等角螺线对数螺线生长螺线是在自然界常见的螺线,在极坐标系(r, θ)中,这个曲线可以写为

r = ae^{b\theta}\,

\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),

因此叫做“对数”螺线。

定理[编辑]

  • 等角螺线的臂的距离几何级数递增。
  • L 为穿过原点的任意直线,则 L 与等角螺线的相交的角永远相等(故其名),而此值为 cot-1 b
  • C 为以原点为圆心的任意圆,则 C 与等角螺线的相交的角永远相等,而此值为 tan-1 b,名为「倾斜度」
  • 等角螺线是自我相似的;这即是说,等角螺线经放大后可与原图完全相同。
  • 等角螺线的渐屈线垂足线都是等角螺线。
  • 从原点到等角螺线的任意点上的长度有限,但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。

历史[编辑]

雅各布·伯努利的墓碑,下方即為雕刻師誤刻的阿基米德螺線。

等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性,如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性,故要求死后将之刻在自己的墓碑上,并附词「纵使改变,依然故我」(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。

自然现象[编辑]

鹦鹉螺的贝壳像等角螺线
旋涡星系的旋臂像等角螺线
低气压的外觀像等角螺线

构造等角螺线[编辑]

  • 複平面上定义一个复数 z = a + bi,其中 a, b ≠ 0,那么连结 zz²、z³…… 的曲线就是一条等角螺线。
复平面上的等角螺线
  • L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴,那么指数函数 ez 会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。
  • 使用黄金矩形
黄金长方形中的等角螺线
  • 在平面上, 质点围绕原点逐渐离开, 相对于原点的径向速度恒定, 且相对于原点的角速度以等比例增长, 则其轨迹为等角螺线.

参见[编辑]

引用[编辑]

外部链接[编辑]