等角螺線
外觀
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等角螺線、對數螺線或生長螺線是在自然界常見的螺線,在極坐標系中,這個曲線可以寫為
或
因此叫做「對數」螺線。
定理
[編輯]- 等角螺線的臂的距離以幾何級數遞增。
- 設為穿過原點的任意直線,則與等角螺線的相交的角永遠相等(故其名),而此值為。
- 設為以原點為圓心的任意圓,則與等角螺線的相交的角永遠相等,而此值為,名為「傾斜度」
- 等角螺線是自我相似的;這即是說,等角螺線經放大後可與原圖完全相同。
- 等角螺線的漸屈線和垂足曲線都是等角螺線。
- 從原點到等角螺線的任意點上的長度有限,但由那點出發沿等角螺線走到原點卻需繞原點轉無限次。這是由托里拆利發現的。
歷史
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等角螺線是由笛卡兒在1638年發現的。雅各布·白努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性,如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性,故要求死後將之刻在自己的墓碑上,並附詞「縱使改變,依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻師誤將阿基米德螺線(等速螺線)刻了上去。
自然現象
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/220px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Messier51.jpg/220px-Messier51.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Low_pressure_system_over_Iceland.jpg/220px-Low_pressure_system_over_Iceland.jpg)
- 鸚鵡螺的貝殼像等角螺線
- 菊的種子排列成等角螺線
- 鷹以等角螺線的方式接近它們的獵物
- 昆蟲以等角螺線的方式接近光源
- 蜘蛛網的構造與等角螺線相似
- 旋渦星系的旋臂差不多是等角螺線。銀河系的四大旋臂的傾斜度約為 12°。
- 低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像等角螺線
構造等角螺線
[編輯]- 在平面上, 質點圍繞原點逐漸離開, 相對於原點的角速度恆定, 且相對於原點的距離以等比例增長, 則其軌跡為等角螺線。這是因為,則有。
參見
[編輯]引用
[編輯]- 埃里克·韋斯坦因. Logarithmic Spiral. MathWorld.
- Jim Wilson, Equiangular Spiral (or Logarithmic Spiral) and Its Related Curves (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), University of Georgia (1999)
- Alexander Bogomolny, Spira Mirabilis - Wonderful Spiral (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), at cut-the-knot
外部連結
[編輯]- Spira mirabilis (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) 等角螺線的歷史和數學