正合序列

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數學裡,尤其是在群論理論、同調代數微分幾何等數學領域中,正合序列(或釋作正合列恰當序列)是指一個由對象及其間的態射所組成的序列,該序列中的每一個態射的都恰好是其下一個態射的。正合序列可以為有限序列或無限序列。

正合序列於同調代數中居於核心地位,其中特別重要的一類是短正合序列

定義[编辑]

群論裡,一個由群同態所組成的序列

稱之為正合序列,若且唯若該序列中的每一個同態的均等於其下一個同態的

上述的正合序列可以為有限序列,亦或是無限序列。

在其他的代數結構裡也可以得出類似的定義,如將群與群同態替換成向量空間線性映射,或是模同態,也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說,任何一個具有上核範疇裡都能形成正合序列的概念。

簡單例子[编辑]

下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以當然群作為開頭或結束,一般會將此一當然群標記為0(表示加法運算,一般用於序列內的群為阿貝爾群時),或標記為1(表示乘法運算)。

  • 序列0 → AB 為正合序列,若且唯若從AB 的映射,其核為{0},亦即若且唯若該映射為單射
  • 在對偶時,序列BC → 0 為正合序列,若且唯若從BC 的映射,其像為整個C,亦即若且唯若該映射為滿射
  • 因此,序列0 → XY → 0 為正合序列,若且唯若從XY 的映射同時為單射及滿射(即為雙射),並因此在大多數狀況下,該映射為從XY同構

短正合序列[编辑]

短正合序列為具有下列形式的正合序列

如上所述,對任何一個短正合序列,f 一定為單射,且g 一定為滿射,且f 的像會等於g 的核。因此,可導出一同構

若以下任一等價(依據分裂引理)條件成立,則稱短正合序列 分裂

  • 截面(即存在使得
  • 縮回(即存在使得
  • 該短正合序列同構(在鏈複形的意義下)於
其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇,前兩個條件不一定蘊含第三個,它們只能保證可以表為半直積;例如我們可考慮群同態

其中是3次對稱群給出,它的像是交代群,商為;但無法分解成

將正合序列拆解為短正合序列[编辑]

正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列,構造方式如下:考慮一正合序列

其中,這就給出了一個短正合序列

一般而言,設鏈複形,我們同樣定義;此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈的正合性。

推廣[编辑]

給定一個短正合序列

有時也稱經由擴張

詳閱條目Ext函子群上同調

長正合序列[编辑]

更多信息:同調

若有鏈複形的短正合序列:

反覆運用蛇引理,可以導出正合序列

對上鏈複形的上同調亦同,此時連接同態的方向是。這類序列稱作長正合序列,它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中,長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

參見[编辑]