正合序列

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數學中,正合序列正合列或譯作恰當序列同調代數中居於核心地位,其中特別重要的一類是短正合序列

定義[编辑]

一個由某類適宜的範疇(例如阿貝爾群向量空間,詳如後述)中的對象與態射構成的序列

A'\longrightarrow A\longrightarrow A''

被稱作在 A正合,若且唯若

\mathrm{Im}(A'\to A)=\mathrm{Ker}(A\to A'')

一般而言,該範疇中的序列

A_1\longrightarrow A_2\longrightarrow A_3\longrightarrow \cdots \longrightarrow A_{n-1} \longrightarrow A_n

被稱作是正合的,若且唯若它在 A_2A_3\cdots A_{n-1} 處正合。類似定義可以推廣至沒有端點的無窮序列。

為了探討序列的正合性,範疇中必須能構造一個態射的像 \mathrm{Im} 與核 \mathrm{Ker},並確保這兩種構造具備在阿貝爾群向量空間的情形一樣的範疇論性質。處理這類問題的框架是阿貝爾範疇,以下考慮的範疇如未說明皆為阿貝爾範疇。

例子[编辑]

  • 序列
0\longrightarrow A'\longrightarrow A
正合的充要條件是 A'\to A單射
  • 序列
A\longrightarrow A''\longrightarrow0
正合的充要條件是 A\to A''滿射
  • 對任何態射 f\colon A\to B,以下序列都是正合的
0\longrightarrow\mathrm{Ker}\,f\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow\mathrm{Coker}\,f\longrightarrow0
注意:在的範疇中,必須要求 fB 中的像是正規子群才能考慮 \mathrm{Coker}(f),故上述正合性對一般範疇不成立。


短正合序列[编辑]

一個具下述形式的正合序列

0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow0

稱作短正合序列

分裂短正合序列[编辑]

若以下任一等價條件成立,則稱短正合序列 0\longrightarrow A'  \stackrel{f}{\longrightarrow} A \stackrel{g}{\longrightarrow} A'' \longrightarrow0 分裂

  • g截面(即存在 s: A'' \rightarrow A 使得 g \circ s = \mathrm{id}_{A''}
  • f縮回(即存在 r: A \rightarrow A' 使得 r \circ f = \mathrm{id}_{A'}
  • 該短正合序列同構(在鏈複形的意義下)於
0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow0
其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇,前兩個條件不一定蘊含第三個,它們只能保證 A 可以表為 A'A''半直積;例如我們可考慮群同態

 1 \longrightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \longrightarrow S_3 \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow 0

其中 S_3 是 3 次對稱群\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow S_3n\; \mathrm{mod}\; 3 \longmapsto (123)^n 給出,它的像是交代群 A_3,商為 \mathbb{Z}/2\mathbb{Z};但 S_3 無法分解成 \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}  \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

將正合序列拆解為短正合序列[编辑]

正合序列可以透過核 Ker 與上核 Coker 的構造拆解為短正合序列,構造方式如下:考慮一正合序列

\cdots \longrightarrow A_{n-1} \longrightarrow A_n \longrightarrow A_{n+1} \longrightarrow \cdots

Z_n:=\mathrm{Ker}(A_n\to A_{n+1}) = \mathrm{Im}(A_{n-1}\to A_n)=\mathrm{Coker}(A_{n-2}\to A_{n-1})

其中 2 \leq n \leq 4,這就給出了一個短正合序列

0\longrightarrow Z_n\longrightarrow A_n\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0

一般而言,設 A_\bullet鏈複形,我們同樣定義 Z_n :=\mathrm{Ker}(A_n\to A_{n+1}) ;此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈 0 \rightarrow Z_n\rightarrow A_n\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0 的正合性。

推廣[编辑]

給定一個短正合序列

0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow0

有時也稱 AA'' 經由 A'擴張

詳閱條目Ext函子群上同調

長正合序列[编辑]

更多資料:同調

若有鏈複形的短正合序列:

 0 \longrightarrow C'_\bullet \longrightarrow C_\bullet \longrightarrow C''_\bullet \longrightarrow 0

反覆運用蛇引理,可以導出正合序列

 \cdots \longrightarrow H_{n+1}(C''_\bullet) \longrightarrow H_n(C'_\bullet) \longrightarrow H_n(C_\bullet) \longrightarrow H_n(C''_\bullet) \longrightarrow H_{n-1}(C'_\bullet) \longrightarrow \cdots

對上鏈複形的上同調亦同,此時連接同態的方向是 H^n(C''^\bullet) \to H^{n+1}(C'^\bullet)。這類序列稱作長正合序列,它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中,長正合序列與相對同調群和 Mayer-Vietoris 序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

參見[编辑]