正合序列

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數學中,正合序列正合列或譯作恰當序列同調代數中居於核心地位,其中特別重要的一類是短正合序列

定義[编辑]

一個由某類適宜的範疇(例如阿貝爾群向量空間,詳如後述)中的對象與態射構成的序列

被稱作在正合,若且唯若

一般而言,該範疇中的序列

被稱作是正合的,若且唯若它在處正合。類似定義可以推廣至沒有端點的無窮序列。

為了探討序列的正合性,範疇中必須能構造一個態射的像與核 ,並確保這兩種構造具備在阿貝爾群向量空間的情形一樣的範疇論性質。處理這類問題的框架是阿貝爾範疇,以下考慮的範疇如未說明皆為阿貝爾範疇。

例子[编辑]

  • 序列
正合的充要條件是單射
  • 序列
正合的充要條件是滿射
  • 對任何態射,以下序列都是正合的
注意:在的範疇中,必須要求中的像是正規子群才能考慮,故上述正合性對一般範疇不成立。


短正合序列[编辑]

一個具下述形式的正合序列

稱作短正合序列

分裂短正合序列[编辑]

若以下任一等價條件成立,則稱短正合序列 分裂

  • 截面(即存在使得
  • 縮回(即存在使得
  • 該短正合序列同構(在鏈複形的意義下)於
其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇,前兩個條件不一定蘊含第三個,它們只能保證可以表為半直積;例如我們可考慮群同態

其中是3次對稱群給出,它的像是交代群,商為;但無法分解成

將正合序列拆解為短正合序列[编辑]

正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列,構造方式如下:考慮一正合序列

其中,這就給出了一個短正合序列

一般而言,設鏈複形,我們同樣定義;此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈的正合性。

推廣[编辑]

給定一個短正合序列

有時也稱經由擴張

詳閱條目Ext函子群上同調

長正合序列[编辑]

若有鏈複形的短正合序列:

反覆運用蛇引理,可以導出正合序列

對上鏈複形的上同調亦同,此時連接同態的方向是。這類序列稱作長正合序列,它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中,長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

參見[编辑]