Ext函子

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同調代數中,Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲,但其應用遍佈許多領域。

定義[编辑]

為有充足內射元的阿貝爾範疇,例如一個 上的左範疇 。固定一對象 ,定義函子 ,此為左正合函子,故存在右導函子 ,記為 。當 時,常記之為

根據定義,取 內射分解

並取 ,得到

去掉首項 ,最後取上同調群,便得到

另一方面,若 中也有充足射影元(例如 ),則可考慮右正合函子 及其左導函子 ,可證明存在自然同構 。換言之,對 射影分解

並取 ,得到

去掉尾項 ,其同調群同構於

基本性質[编辑]

  • 射影對象內射對象,則對所有
  • 反之,若 ,則 射影對象。若 ,則 內射對象
  • 根據導函子性質,對每個短正合序列 ,有長正合序列
  • 承上,若 有充足的射影元,則對第一個變數也有長正合序列;換言之,對每個短正合序列 ,有長正合序列

譜序列[编辑]

今設 為含單位元的,並固定一環同態 。則由雙函子的自然同構

導出格羅滕迪克譜序列:對每個 -模 -模 ,有譜序列

這個關係稱為換底

Ext函子與擴張[编辑]

Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說,給定兩個對象 ,在擴張

的等價類與 之間有一一對應,下將詳述。

對任兩個擴張

可以構造其 Baer 和,其中 反對角線)。這在等價類上構成一個群運算,可證明此群自然地同構於

對更高階的擴張,同樣可定義等價類;對任兩個 n-擴張(n>1)

此時的 Baer 和定為

其中 (反對角線 之定義同上),。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算,此群自然同構於 。藉此,能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

重要例子[编辑]

  • 為群,取環 ,可以得到群上同調
  • 局部賦環空間 上的 -模範疇,可以得到層上同調
  • 李代數,取環 為其泛包絡代數,可以得到李代數上同調
  • 為域,-代數,取環 帶有自然的 -模結構,此時得到 Hochschild 上同調:

文獻[编辑]

  • Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1