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Ext函子

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同调代数中,Ext 函子是 Hom 函子的导函子。此函子首见于代数拓扑,但其应用遍布许多领域。

定义

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为有充足内射元的阿贝尔范畴,例如一个 上的左范畴 。固定一对象 ,定义函子 ,此为左正合函子,故存在右导函子 ,记为 。当 时,常记之为

根据定义,取 内射分解

并取 ,得到

去掉首项 ,最后取上同调群,便得到

另一方面,若 中也有充足射影元(例如 ),则可考虑右正合函子 及其左导函子 ,可证明存在自然同构 。换言之,对 射影分解

并取 ,得到

去掉尾项 ,其同调群同构于

基本性质

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  • 射影对象内射对象,则对所有
  • 反之,若 ,则 射影对象。若 ,则 内射对象
  • 根据导函子性质,对每个短正合序列 ,有长正合序列
  • 承上,若 有充足的射影元,则对第一个变数也有长正合序列;换言之,对每个短正合序列 ,有长正合序列

谱序列

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今设 为含单位元的,并固定一环同态 。则由双函子的自然同构

导出格罗滕迪克谱序列:对每个 -模 -模 ,有谱序列

这个关系称为换底

Ext函子与扩张

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Ext 函子得名于它与群扩张的联系。抽象地说,给定两个对象 ,在扩张

的等价类与 之间有一一对应,下将详述。

对任两个扩张

可以构造其 Baer 和,其中 反对角线)。这在等价类上构成一个群运算,可证明此群自然地同构于

对更高阶的扩张,同样可定义等价类;对任两个 n-扩张(n>1)

此时的 Baer 和定为

其中 (反对角线 之定义同上),。这也在 n-扩张的等价类上构成一个群运算,此群自然同构于 。借此,能在任何阿贝尔范畴上定义 Ext 函子。

重要例子

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  • 为群,取环 ,可以得到群上同调
  • 局部赋环空间 上的 -模范畴,可以得到层上同调
  • 李代数,取环 为其泛包络代数,可以得到李代数上同调
  • 为域,-代数,取环 带有自然的 -模结构,此时得到 Hochschild 上同调:

文献

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  • Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1