正合函子

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範疇論中,正合函子(或譯作恰當函子)是保存有限極限函子。在阿貝爾範疇中,這就相當於保存正合序列的函子。

阿貝爾範疇間的正合函子[编辑]

\mathcal{C}, \mathcal{C}'阿貝爾範疇F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}' 為加法函子。若對每個正合序列

\cdots \longrightarrow X_i \longrightarrow X_{i-1} \longrightarrow \cdots

F 後得到的序列

\cdots \longrightarrow F(X_i) \longrightarrow F(X_{i-1}) \longrightarrow \cdots

仍為正合序列,則稱 F正合函子

由於正合序列總能拆解為短正合序列,在定義中僅須考慮短正合序列即可。

此外,若對每個短正合序列 0 \to X' \to X \to X'' \to 0,其像截去尾端零對象後 0 \to F(X') \to F(X) \to F(X'') 為正合序列,則稱 F左正合函子;類似地,若 F(X') \to F(X) \to F(X'') \to 0 為正合序列,則稱 F右正合函子。正合性等價於左正合性+右正合性。

一般範疇中的正合函子[编辑]

考慮一個函子 F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}'

  • \mathcal{C}裡存在任意的有限射影極限,且F與有限射影極限交換(即:F(\varprojlim_i X_i) \stackrel{\sim}{\to} \varprojlim_i F(X_i)),則稱F左正合
  • \mathcal{C}裡存在任意的有限歸納極限,且F與有限歸納極限交換(即:\varinjlim_i F(X_i) \stackrel{\sim}{\to} F(\varinjlim_i X_i) ),則稱F右正合
  • 若上述條件同時被滿足,則稱F正合

阿貝爾範疇中,由於任意有限射影(或歸納)極限可以由核(或上核)與有限積(或上積)生成,此時的定義遂回歸到正合序列的定義。

例子[编辑]

  • 根據極限的泛性質,\mathrm{Hom}(-,-)函子無論對哪個變數都是左正合的,這是左正合函子的基本例子。
  • (F,G)是一對伴隨函子。若\mathcal{C}存在任意有限歸納極限,則F右正合;若存在任意有限射影極限,G左正合。此法可建立許多函子的正合性。
  • X拓撲空間阿貝爾群數學範疇上的整體截面函子 X \mapsto F(X) 是左正合函子。
  • RT 為右 R-模,則左 R-模範疇上的張量積函子 T \otimes_R - 是右正合函子。
  • \mathcal{A},\; \mathcal{B} 為兩個阿貝爾範疇,考慮函子範疇 \mathcal{B}^\mathcal{A},固定一對象 A \in \mathcal{A},對 A 的「求值」是正合函子。

文獻[编辑]

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490