伴隨函子

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範疇論中,函子若滿足,則稱之為一對伴隨函子,其中稱為右伴隨函子,而左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。

定義[编辑]

為函子,若存在雙函子的同構

則稱為一對伴隨函子稱為右伴隨函子,而左伴隨函子

上述同構進一步給出兩個同構

分別在同構的左右兩側置,遂得到函子間的態射(即自然變換):

單位
上單位

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

正合性[编辑]

是一對伴隨函子,若為右正合则為左正合;此命題可由正合函子極限的定義直接導出。

例子[编辑]

伴隨函子在數學中處處可見,以下僅舉出幾個例子:

  • 自由對象遺忘函子是一對伴隨函子,舉範疇為例,此時單位態射不外是集合到它生成的自由群的包含映射。
  • 對角函子
  • 為右-模,則為一對伴隨函子。當可交換時,上式的可代為可代為
  • 的正像與逆像。
  • 群表示理論中的弗羅貝尼烏斯互反定理(詳閱誘導表示)。

文獻[编辑]

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部連結[编辑]