子範疇

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數學中,一個範疇 C子範疇是一個範疇 S ,其物件為 C 內的物件,態射為 C 內的態射,且有相同的單位態射與態射複合。直觀上來看, C 的子範疇是一個從 C 中「移去」部份物件和態射的範疇。

形式定義[编辑]

C 為一範疇。 C子範疇 S 給定於

  • C 中物件的子類,標記為 ob(S) ,
  • C 中態射的子類,標記為 hom(S) 。

使得

  • 對每個在 ob(S) 內的 X 而言,單位態射 idX 會在 hom(S) 內。
  • 對每個在 hom(S) 內的態射 f : XY 而言,源物件 X 和目標物件 Y 都會在 ob(S) 內。
  • 對每對在 hom(S) 內的態射 fg 而言,複合 f o g 會如其定義地在 hom(S) 內。

上述條件確定 S 本身也會是個範疇。其中存在一自然函子 I : SC ,稱之為包含函子,單純為物件和態射的恆等函數。

一個範疇 C完全子範疇是一個 C 的子範疇 S ,會使得每對在 S 內的物件 XY

\mathrm{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y).

一個完全子範疇是一個包括著在 S 的物件間「所有」態射的範疇。對任一堆在 C 內的物件 A ,必存在唯一一個 C 的全子範疇,其物件為 A 內的所有物件。

內嵌[编辑]

給定一個 C 的子範疇 S ,其包含函子 I : SC 在物件上是忠實且單射的。此函子為完全的若且唯若 S 為一完全子範疇。

一個函子 F : BC 被稱之為是一個內嵌若其為

  • 一個忠實函子,且
  • 在物件上是單射的。

等價地說, F 是一個內嵌若其在態射上為單射。一個函子 F 被稱之為完全內嵌,則是若其為一完全函子,且為一內嵌。

對任一(完全)內嵌 F : BC 而言, F 的值域是 C 的一個(完全)子範疇 S ,且 F 可導出一個由 BS 間的範疇同構

子範疇類型[编辑]

一個 C 的子範疇 S 被稱之為同構封閉的,若每一個在 C 內的同構 k : XYYS 內)也會屬於 S。一個同構封閉完全子範疇被稱之為是嚴格完全的。

一個 C 的子範疇是的,若其包括所有 C 的物件。一個寬子範疇基本上不會是完全的:一個範疇唯一的完全寬子範疇即是此一範疇本身。

一個塞爾子範疇是指一個阿貝爾範疇 C 的一非空完全子範疇 S,其中對所有在 C 內的所有短正合序列

0\to M'\to M\to M''\to 0

M 會屬於 S ,若且唯若 M'M'' 也屬於 S

參考資料[编辑]


另見[编辑]