子範疇

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數學中,一個範疇C子範疇是一個範疇S,其物件為C內的物件,態射為C內的態射,且有相同的單位態射與態射複合。直觀上來看,C的子範疇是一個從C中「移去」部份物件和態射的範疇。

形式定義[编辑]

C為一範疇。C子範疇S給定於

  • C中物件的子類,標記為ob(S),
  • C中態射的子類,標記為hom(S)。使得
  • 對每個在ob(S)內的X而言,單位態射idX會在hom(S)內。
  • 對每個在hom(S)內的態射f : XY而言,源物件X和目標物件Y都會在ob(S)內。
  • 對每對在hom(S)內的態射fg而言,複合f o g會如其定義地在hom(S)內。

上述條件確定S本身也會是個範疇。其中存在一自然函子I : SC,稱之為包含函子,單純為物件和態射的恆等函數。

一個範疇C完全子範疇是一個C的子範疇S,會使得每對在S內的物件XY

\mathrm{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)

一個完全子範疇是一個包括著在S的物件間「所有」態射的範疇。對任一堆在C內的物件A,必存在唯一一個C的全子範疇,其物件為A內的所有物件。

內嵌[编辑]

給定一個C的子範疇S,其包含函子I : SC在物件上是忠實且單射的。此函子為完全的若且唯若S為一完全子範疇。

一個函子F : BC被稱之為是一個內嵌若其為

  • 一個忠實函子,且
  • 在物件上是單射的。等價地說,F是一個內嵌若其在態射上為單射。一個函子F被稱之為完全內嵌,則是若其為一完全函子,且為一內嵌。

對任一(完全)內嵌F : BC而言,F的值域是C的一個(完全)子範疇S,且F可導出一個由BS間的範疇同構

子範疇類型[编辑]

一個C的子範疇S被稱之為同構封閉的,若每一個在C內的同構k : XYYS內)也會屬於S。一個同構封閉完全子範疇被稱之為是嚴格完全的。

一個C的子範疇是的,若其包括所有C的物件。一個寬子範疇基本上不會是完全的:一個範疇唯一的完全寬子範疇即是此一範疇本身。

一個塞爾子範疇是指一個阿貝爾範疇C的一非空完全子範疇S,其中對所有在C內的所有短正合序列

0\to M'\to M\to M''\to 0

M會屬於S,若且唯若M'M''也屬於S

參考資料[编辑]


另見[编辑]