在交换代数 中，可以探讨一个交换环
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
理想
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset R}
完备化 是研究交换环 的基本工具。
几何上，交换环的完备化对应到一个闭子概形 的形式邻域 。
对于一个交换环
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
极大理想 ），可以借着取
I
n
(
n
∈
N
)
{\displaystyle I^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}
R
{\displaystyle R}
拓扑群 。这种拓扑称为
I
{\displaystyle I}
对于一个
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
I
n
M
{\displaystyle I^{n}M}
M
{\displaystyle M}
I
{\displaystyle I}
模
M
{\displaystyle M}
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset R}
完备化 定义为射影极限 ：
M
^
:=
lim
←
n
M
/
I
n
M
{\displaystyle {\hat {M}}:=\varprojlim _{n}M/I^{n}M}
正如其名，
M
^
{\displaystyle {\hat {M}}}
I
{\displaystyle I}
完备 的。对于固定的
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset R}
M
↦
M
^
{\displaystyle M\mapsto {\hat {M}}}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle R}
函子 ；透过自然同态
M
→
M
^
{\displaystyle M\to {\hat {M}}}
伴随函子 ，因而是右正合 的。
对于诺特环 ，
R
^
{\displaystyle {\hat {R}}}
平坦 的
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
M
^
→
M
⊗
R
R
^
{\displaystyle {\hat {M}}\to M\otimes _{R}{\hat {R}}}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
正合函子 。
此外，完备化也可以用柯西序列 构造，得到的对象是自然同构的。
p进整数 是
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
p
Z
{\displaystyle p\mathbb {Z} }
形式幂级数环
k
[
[
X
1
,
…
,
X
n
]
]
{\displaystyle k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}
k
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}
David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry . Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8 ; ISBN 0-387-94269-6
![{\displaystyle k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed263f43a228899c026436807d051c99a195572b)
![{\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff472a050c05d0bbc73bd23888d3d654df28fbfb)
